Inversie

Zie ook: Cabri-werkblad "Inversie"
Zie ook: Cabri-werkblad "Poolafbeelding"
Zie ook: Negatieve inversie

Overzicht

Inleiding
Constructies
Eigenschappen
Hoektrouw
Vermenigvuldiging
Stellingen
Toepassingen

1. Inleiding

Definitie
Gegeven is een vast punt O en een getal m (¹ 0).
We trekken uit O een halve rechte en kiezen daarop het punt A (zie figuur 1).We bepalen nu het punt A_i op deze rechte zo, dat
OA ^.OA_i = m.

figuur 1

O heet het centrum en m heet de macht van de inversie.
We spreken van de inversie(O, m).
Het getal |m| stellen we vaak voor door k².

Opmerking
Is m < 0, dan liggende punten A en A_i aan verschillende kanten van O.
Zie ook de pagina Negatieve inversie

In hetgeen volgt zullen we echter steeds m > 0 veronderstellen, tenzij het tegendeel duidelijk is aangegeven.
In dit geval geven we de macht van de inversie vaak weer als het kwadraat van de lengte k van een lijnstuk. We spreken dan dus van de inversie (O, k²) ook wel O_k² of O_m.
Het beeld F’ van een figuur F geven we in het laatste geval wel aan met O_m(F) = F’.
[einde Opmerking]

Definitie
De cirkel met middelpunt O, waarvan het kwadraat van de straal gelijk is aan de absolute waarde van de macht van de inversie heet de grondcirkel of inversiecirkel.

Klik hier >< voor een animatie met betrekking tot deze definitie.

2. Constructies van O_m(P)

1e methode
Gaan we uit van de inversiecirkel met middelpunt O en straal k. We onderscheiden drie gevallen (zie figuur 2a, 2b, 2c):
(a) P binnen de inversiecirkel
(b) P op de inversiecirkel
(c) P buiten de inversiecirkel.

figuur 2a	figuur 2b	figuur 2c

(a)
We trekken de lijn door P loodrecht op OP. Deze snijdt de inversiecirkel (oa.) in D. De loodlijn in D op OD snijdt de lijn OP in P'.
Het bewijs volgt uit een eigenschap van rechthoekige driehoeken (projectiestelling): OD² = OP ^. OP'.
(b)
In dit geval is P = P'.
(c)
We construeren de cirkel met middellijn OP (middelpunt M). Deze snijdt de inversiecirkel (oa.) in D. De lijn door D loodrecht op OP snijdt de lijn OP in het punt P'.
Het bewijs volgt uit de onder (a) genoemde stelling.

2e methode - passerconstructie
Bij de hieronder getoonde constructie is alleen een passer nodig.

figuur 2d

De volgende constructiestappen zijn voldoende:

1		cirkel (P, PO)
2-3		bepaal de snijpunten Q en R met de inversiecirkel
4		cirkel (Q, QO = r)
5		cirkel (R, RO)
6		P' is het tweede snijpunt van de beide laatste cirkels

Bewijs:
Wegens de symmetrie ligt P' op de lijn OP. De hoek QOP is altijd scherp, en daarom liggen P en P' aan dezelfde kant van O.
De driehoeken QOP' en QOP zijn beide gelijkbening en hebben de hoek O gemeen. Ze zijn dus gelijkvormig: QOP' ~ POQ, waaruit volgt
OQ : OP = OP' : OQ of OP'.OP = OQ² = r². ¨

Klik hier >< voor een animatie van deze constructie.

Opmerkingen
[1]
Deze constructie mislukt, als OP £ ½ r; immers dan snijdt de cirkel uit stap 1 de inversiecirkel niet.
[2]
Deze constructie kan worden gebruikt om aan te tonen, dat bij Euclidische constructies (penl-constructies; zie de pagina "Trisectie") het gebruik van een liniaal niet noodzakelijk is.
Zie verder de pagina "Passermeetkunde".
[einde Opmerking]

3e methode

figuur 2e

Constructiestappen:

1		lijn OA
2		loodlijn OB, met tweede snijpunt C met de cirkel
3		lijn BA, met tweede snijpunt B' op de cirkel
4		lijn CB' die OA snijdt in het gewenste punt A'

Bewijs:
Dit volgt uit de gelijkvormigheid van de rode en de groene driehoek

Klik hier >< voor een animatie van de constructie met Cabrijava.

Opmerking
Deze constructie is ook te gebruiken als A binnen de inversiecirkel ligt.
[einde Opmerking]

3. Eigenschappen van figuren onder inversie

Overzicht
     3.1. Dekpunten
     3.2. Lijnen door O
     3.3. Lijnen die niet door O gaan
     3.4. Cirkels die door O gaan (zie 5. Vermenigvuldiging, voor cirkels die niet door O gaan)

3.1. Dekpunten
Elk punt M waarvoor OM = k valt samen met zijn inverse punt, immers uit OM . OM_i = k² volgt OM_i = k.
De verzameling dekpunten van een inversie wordt dus gevormd door de inversiecirkel. ¨

3.2. Lijnen door O
Op grond van de definitie van inversie zijn lijnen door het centrum O van de inversie (niet puntsgewijs) invariant.¨

3.3. Lijnen die niet door O gaan

figuur 3

Projectie van het punt O op de lijn l geeft het punt A (zie figuur 3)
Bij A hoort nu een punt A’ met OA . OA’ = k².
Voor een willekeurig punt P van l met bijbehorend punt P’ hebben we dan
   OA ^. OA’ = OP ^. OP’
of
   OA : OP = OP’ : OA.
We zijn nu geïnteresseerd in de meetkundige plaats van het punt P.
Nu is
   OAP ~ OP’A’ (zhz)
waaruit dus volgt dat de hoek P’ in driehoek OP’A’ recht is.

Bij inversie van l blijkt dus dat O_k(l) = cirkel met middellijn OA’. ¨
Uiteraard is de grootte van de cirkel afhankelijk van de afstand a van O tot de lijn.
Nu is OA . OA' = k². Met OA = a vinden we nu OA' = k²/a.

Klik hier >< voor een animatie van deze eigenschap.

Opmerking
Voor evenwijzige lijnen zie het Gevolg van eigenschap 3.4.
[einde Opmerking]

3.4. Cirkels die door O gaan

figuur 4

Zie figuur 4.

De snijpunten van de cirkel K en de inversiecirkel (de punten D en E) zijn dekpunten (zie eigenschap 3.1).

Uit eigenschap 3.3 volgt dan eenvoudig dat het beeld van de cirkel K de rechte lijn K' door de punten D en E is. ¨

Gevolg

figuur 5

Als m₁ en m₂ evenwijdige lijnen zijn, dan zijn O_k(m₁) = K₁' en O_k(m₂) = K₂' (zie figuur 5) twee cirkels die elkaar in het punt O raken.
[einde Gevolg]

4. Hoektrouw
Zij K een kromme waarop de punten P en Q liggen (zie figuur 6).

figuur 6

Zijn K', P' en Q' de beelden daarvan onder een inversie, dan is:
OPQ ~ OQP' (zhz)
Dus hoek OPQ = hoek OQ'P'.
De lijnen PQ en P'Q' zijn antiparallel (tov. hoek O).

De koorde PQ van de kromme K maakt met OP een hoek die gelijk is aan de hoek die de koorde P'Q' (van K') maakt met OQ.
Nadert Q tot P, dan nadert PQ tot de raaklijn in P aan K; en dan nadert Q' to P' en P'Q' tot de raaklijn in P' aan K' (en OQ nadert dan tot OP).
Voor een tweede kromme die door P gaat, geldt hetzelfde.
Door nu de overeenkomstige hoeken van elkaar af te trekken vinden we dat de hoek die twee krommen in een punt P met elkaar maken gelijk is aan de hoek die de inverse krommen in het inverse punt P' met elkaar maken. ¨

We hebben dus bewezen:

Stelling 1
Inversie is een conforme (hoektrouwe) afbeelding.

Gevolg
Raking en loodrechte stand zijn dus invariant onder inversie.
[einde Gevolg]

Klik hier >< voor een animatie van Stelling 1.
Toepassing: Een gelijkzijdige driehoek als beeld van drie collineaire punten.

5. Inversie en vermenigvuldiging

Overzicht
5.1. Vermenigvuldiging van een lijnstuk
5.2. Vermenigvuldiging bij cirkels

5.1. Vermenigvuldiging van een lijnstuk

figuur 7

We hebben in figuur 7:
   OA ^. OA' = k²
   OB ^. OB' = k²
Dus is AA'B'B een koorden vierhoek (behalve als A en B collineair zijn).
Nu is OAB ~ OB'A'.
Stel OA = a, OB = b en AB = d.
Uit de gelijkvormigheid volgt dan AB : B'A' = OA : OB'
of
   d : A'B' = a : k²/b

Zodat A'B' = (k²d) / (ab)
Het lijnstuk AB wordt dus tov. O vermenigvuldigd met de factor k²/(ab). ¨

N.B.
A' en B' zijn weliswaar de inversen van A en B, maar A'B" is niet het inverse beeld van AB!
[einde NB]

5.2. Vermenigvuldiging bij cirkels

Stelling 2
Ligt O niet op de cirkel K, en is m de macht van O tov. K, dan gaat K bij inversie (O, k) over in een cirkel die vermenigvuldigingsfiguur is van K met factor k²/m.

Bewijs (zie figuur 8):

figuur 8

P en P' zijn inverse punten; P ligt op K.
Q is het tweede snijpunt van K en OP.
Nu is:
   OP . OP' = k²
   OP . OQ = m (macht van O tov. K)
Dus
   OP' = k²/m . OQ
Dus ligt P' op een cirkel, waarvan het middelpunt N bepaald is als snijpunt van OM en de lijn door P' evenwijdig met QM. ¨

Gevolgen
[1]
De constructie van het beeld K' van K (die de grondcirkel in twee punten C en D snijdt) is op basis van bovenstaande stelling eenvoudig (zie figuur 9).

figuur 9

Is E het tweede snijpunt van de lijn OD en K.
Het punt N (het middelpunt van K') wordt dan gevonden als snijpunt van OM en de lijn door D evenwijdig aan EM.
De cirkel K' heeft dan ND als straal, immers D is een invariant punt onder de inversie.

In de overige gevallen, raking van K en de grondcirkel en bij niet-snijden) dienen van K' beeldpunten op basis van punten van K te worden geconstrueerd.

Klik hier >

< voor een animatie van Stelling 2.

[2]
Stelling 3
Inversie met een macht m van O ten opzichte van de cirkel K beeldt K niet-puntsgewijs op zichzelf af.

Bewijs:
Volgens stelling 2 hebben we nu voor de aldaar genoemde vermenigvuldigings factor k²/m = m / m = 1.
We vermenigvuldigen dus met 1 ten opzichte van O. ¨

[3]
Stelling 4
Bij inversie met een positieve macht wordt elke cirkel die de grondcirkel loodrecht snijdt op zichzelf (niet-puntsgewijs) afgebeeld

Bewijs (zie figuur 10):

figuur 10

Deze stelling is een direct gevolg van stelling 3. ¨

6. Stellingen

Overzicht
     6.1. Stelling van Ptolemaeus
     6.2. De inversen van de hoekpunten van een driehoek tov. een punt P vormen een driehoek die gelijkvormig is
            met de voetpuntsdriehoek van dat punt.
     6.3a. De voetpuntsdriehoeken van twee inverse punten tov. de omcirkel zijn gelijkvormig.
     6.3b. De voetpuntsdriehoek van een isodynamisch punt is gelijkzijdig.
     6.4. Cirkels van Apollonius snijden elkaar onder een hoek van 60º.
     6.5. Het inverse beeld van een harmonische vierhoek is een harmonische vierhoek.
     6.6. De isodynamische punten van een driehoek zijn elkaars inversen bij een inversie ten opzichte van de
            omgeschreven cirkel van die driehoek.
     6.7. ALS (ABCD) = -1 en CD is middellijn, DAN A, B zijn inverse punten tov. de Apollonius-cirkel.

Stelling 6.1 - Stelling van Ptolemaeus

In een koordenvierhoek is de som van de producten van de overstaande zijden gelijk aan het product der diagonalen.

Bewijs: Zie figuur 11.

figuur 11

We kiezen een inversie met centrum A.
Hierdoor gaat de omgeschreven cirkel van ABCD over in een rechte lijn (zie eigenschap 3.4).
Op deze rechte lijn liggen de punten B', C, en D'.
Volgens eigenschap 5.1 is nu
   B'C' = k²/ap . b
   C'D' = k²/dp . c
   B'D' = k²/ad . q
Omdat B'C' + C'D' = B'D' hebben we nu
   k²b/ap + k²c/dp = k²q/ad
Deling door k² en vermenigvuldiging met adp geeft uit deze relatie:
   bd + ac = pq ¨

Opmerking
Klik hier voor een "klassiek" bewijs van de stelling van Ptolemaeus (in samenhang met de sinusregel).
[einde Opmerking]

Stelling 6.2

De inversen van de hoekpunten van een driehoek tov. een punt P vormen een driehoek die gelijkvormig is met de voetpuntsdriehoek van dat punt.

Bewijs: zie figuur 12.

figuur 12

DEF is de voetpuntsdriehoek van P in driehoek ABC.
A'B'C' is de driehoek gevormd door de inversen van A, B, C bij een inversie met centrum P.
Volgens eigenschap 4 is A'C' antiparallel met AC. Hieruit volgt dus:
hoek A'₁ = hoek C₁.
Nu is PDCE een koordenvierhoek (PD loodrecht op BC, en PE loodrecht op AC). Daaruit vinden we
hoek D₁ = hoek C₁. Zodat
hoek A'₁ = hoek D₁.
Op dezelfde manier bewijzen we dat hoek A'₂ = hoek D₂.

En zo bewijzen we ook, dat (bijvoorbeeld) hoek B' in driehoek A'B'C' gelijk is aan hoek E in driehoek DEF.
Dus de beide driehoeken zijn gelijkvormig. ¨

Klik hier >< voor een animatie van deze eigenschap.

Stelling 6.3a

De voetpuntsdriehoeken van twee inverse punten tov. de omcirkel van een driehoek zijn gelijkvormig.

Bewijs:

figuur 13a

P en Q zijn inverse punten tov. de omcirkel. DEF en D'E'F' zijn de voetpuntsdriehoeken.
Beschouw de koordenvierhoeken AFPE en AE'QF'.
Hierin is A = Q.
De koorden FE en F'E" onderspannen dus gelijke hoeken. De beide gelijkbenige driehoeken op die koorden zijn dus gelijkvormig.
Zodat EF : E'F' = AP : AQ
Evenzo bewijzen we
FD : F'D' = BP : BQ en DE : D'E' = CP : CQ
Volgens het Gevolg van Stelling 6.7 zijn de rechterleden van bovenstaande uitdrukkingen gelijk.
De linkerleden dus ook, waaruit de gelijkvormigheid (zzz) volgt ¨ .

Stelling 6.3b

De voetspuntsdriehoek van een isodynamisch punt van een driehoek is gelijkzijdig.

Bewijs: zie figuur 13b.

figuur 13b	figuur 13c

Voor I op K_b geldt IA : IC = BA : BC = c : a.
Dus: IA = kc en IC = ka.
Voor I op K_a geldt IB : IC = AB : AC = c : b
Dus IB = pc en IC = pb.
Dus p = k ^. a/b (volgend uit de beide waarden van IC), zodat

IA : IB : IC	=	kc : (k ^. a/b ^. c) : ka
	=	kbc : kac : kab
	=	1/a : 1/b : 1/c

Voor zekere m geldt dus IA = m/a, IB = m/a, IC = m/c

Voor een willekeurig punt D binnen een driehoek (zie figuur 13b) definiëren we de producten
p₁ = AD . BC, p₂ = BD . AC, p₃ = CD . AB.

Voor het hierboven genoemde isodynamische punt I geldt dus p₁ = m, p₂ = m, p₃ = m.

We kijken nu weer naar de voetspuntdriehoek DEF van het willekeurige punt P binnen de driehoek (zie figuur 14).

figuur 14

Vierhoek AFPE is een koordenvierhoek waarvan de omgeschreven cirkel het lijnstuk AP als middellijn heeft.
Passen we nu in driehoek AFE de sinusregel (voor hoek A) toe dan vinden we:
EF / sin A = 2R_AFE = AP

Zij nu R de straal van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC, dan is
EF = PA^. sin A = PA ^. BC / 2R.
Dus, gebruikmakend van de gedefinieerde producten p_i (met i = 1, 2, 3):
EF = p₁ / 2R

Op dezelfde manier vinden we nu:
FD = p₂ / 2R en
DE = p₃ / 2R
Voor de zijden van de voetspuntsdriehoek van het isodynamische punt I hebben we dan PQ = QR = RP = m / 2R, immers p_i = m.
Waarmee de stelling bewezen is. ¨

Opmerking
Zie voor een korter bewijs de pagina "Isodynamische punten"
[einde Opmerking]

Stelling 6.4

De cirkels van Apollonius van een driehoek snijden elkaar twee aan twee onder hoeken van 60º.

Bewijs: zie figuur 15.

figuur 15

In de figuur zijn P en Q de isodynamische punten van driehoek ABC.
De rode lijnen door opvolgend A', B' en C' zijn de beelden van de Apollonius-cirkels van de driehoek bij een inversie met centrum P.
A', B' en C' zijn de beelden van de hoekpunten van driehoek ABC.

Volgens stelling 6.2 en stelling 6.3 is driehoek A'B'C' een gelijkzijdige driehoek.
Hieruit volgt wegens de hoektrouw van de inversie het gestelde. ¨

Stelling 6.5

Het inverse beeld van een harmonische vierhoek is een harmonische vierhoek.

Bewijs: Dit volgt eenvoudig uit de via verhoudingen gevonden lengtes van de beelden van de zijden (zie eigenschap 5.1 en het bewijs van stelling 6.1, Ptolemaeus). ¨

Stelling 6.6

De isodynamische punten van een driehoek zijn elkaars inversen bij een inversie ten opzichte van de omgeschreven cirkel van die driehoek.

Voordat we het bewijs van deze stelling geven, allereerst een

Hulpstelling
De lijn l wordt door een inversie afgebeeld op een cirkel K door het centrum van de inversie.
Twee punten P en Q die symmetrisch liggen ten opichte van de lijn l worden afgebeeld op twee inverse punten van K.

Bewijs: zie figuur 16.

figuur 16

De drager van PQ wordt door de inversie afgebeeld op een cirkel K₂ (zie rode cirkel).
K₂ staat loodrecht op de cirkel K (zie blauwe cirkel), immers inversie is een conforme afbeelding (en PQ staat loodrecht op l ).

Nu is dus MO een raaklijn aan K₂.
Verder zijn de punten P', Q' en M collineair, zodat geldt (macht van M tov. K₂):
MQ' ^. MP' = k², waarbij k de lengte is van de straal van de cirkel K.

De punten P' en Q' zijn dus inverse punten tov. de cirkel K. ¨

Bewijs van stelling 6.6: zie nu eerst figuur 17a

figuur 17a
		De hoekpunten van een driehoek en éen van de beide isodynamische punten vormen een volledige vierhoek ABCP. Nu geldt AB . CP = k (zie stelling 6.3) BC . AP = k zodat AB . CP = BC . AP In dit geval hebben we dus te maken met een harmonische vierhoek. Volgens stelling 6.5 is het beeld van ABCP opnieuw een harmonische vierhoek.

figuur 17b
		Zie nu figuur 17b. O is het centrum van inversie. O ligt op de omgeschreven cirkel K van ABC (grijze cirkel). De beelden A', B', C' van A, B, C liggen nu op een rechte lijn. De Apollonius-cirkels (alleen Ka en Kb zijn getekend) blijven intact. Ka' gaat door A', P' en Q'; Kb' gaat door B', P' en Q' De isodynamische punten van de beeldcirkels zijn dus P' en Q' en deze liggen gespiegeld ten opzichte van de lijn l door A', B' en C', vanwege het feit, dat A", B' en C' collineair zijn. De inversie die de lijn l afbeeldt op de cirkel K (de omgeschreven cirkel van ABC) beeldt de punten p' en Q' af op twee inverse punten van K (zie hulpstelling).

Dus: de isodynamische punten van een driehoek zijn elkaars inverse ten opzichte van de omgeschreven cirkel van die driehoek.
Het ene isodynamische punt ligt daardoor binnen de omgeschreven cirkel, terwijl het andere er buiten ligt. ¨

Stelling 6.7

ALS (ABCD) = -1, DAN A en B zijn inverse punten ten opzichte van de Apollonius-cirkel, waarbij CD een middellijn is van de cirkel.

Bewijs: zie figuur 18.

figuur 18

Kies OA = a en OB = b.
Zij OD = k de lengte van de straal van de Apollonius-cirkel.

(ABCD)	=	CA/CB : DA/DB
	=	(a-k)/(k-b) : (a+k)/k+b)
	=	(ak+ab-k²-kb)/(ak+k²-ab-kb)

Uit (ABCD) = - 1 volgt nu
ak+ab-k²-kb = ak + k²-ab-kb
Zodat ab = k².
En dus OA · OB = ab = k². ¨

Gevolg
De verhouding van de afstanden van een punt M van de inversiecirkel tot twee gegeven inverse punten A, B is constant.

Bewijs: Nu is (CDAB) = -1.Voor de bundel lijnen door M geldt dan eveneens M(CDAB) = -1. CMD = 90°. Dus MC en MB zijn bissectrices van ABM, zodat MA : MB = MC : MD voor ieder punt M van de inversiecirkel. ¨

7. Toepassingen
Hieronder staan koppelingen naar pagina's (op deze website) met (belangrijke) toepassingen van inversie.

De cel van Peaucellier
Een gelijkzijdige driehoek als invers beeld van drie collineaire punten / hoektrouw
Concurrentie van bijzondere middellijnen bij drie snijdende cirkels
De stelling van Casey
Een probleem van Steiner (Steiner's Porisma)
- Inversie en de cirkel van Feuerbach
- De stelling van Feuerbach, een bewijs met inversie (PDF-bestand, ca. 120 Kb)
Raakprobleem van Apollonius
Een, volgens Pappos, oud probleem: de arbelos (het "schoenmakersmes")
Soddy-cirkels
Machtlijn van twee cirkels
Middencirkel en Inverse afstand
Passermeetkunde
Sluitingsstelling van Poncelet (beperkt)

[inversie.htm] laatste wijziging op: 18-01-2018