Inversie (pag2)

Inversie (deel 2) - Negatieve inversie

Overzicht

Negatieve inversie
     Eigenschappen
     Loodrechte stand
     Hulpcirkels
     Invariante cirkel
     Toepassing

Inversie met negatieve inversiemacht - Negatieve inversie

In Inversie (deel 1) wordt inversie gedefinieerd met een positieve inversiemacht k² (zie figuur 1):

OP . OP' = k²

waarbij k de straal is van de inversiecirkel (de cirkel met middelpunt O).
Hierbij liggen P en P' aan dezelfde kant van O.

figuur 1	figuur 2

Liggen P en P" aan verschillende kanten van O dan is de inversiemacht negatief; er wordt rekening gehouden met de oriëntatie van de lijnstukken OP en OP" (zie figuur 2):

OP . OP" = -k²

De constructie van P" volgt uit de constructie van P':
P" is het spiegelbeeld in O van P'.

In principe is de inversie met negatieve inversiemacht dus te interpreteren als een 'gewone' inversie gevolgd door een puntspiegeling.
We spreken hier van: negatieve inversie.

Eigenschappen
- De meeste eigenschappen van negatieve inversie komen overeen met die van 'gewone' inversie.
Uitgezonderd:
- Negatieve inversie heeft geen dubbelpunten.
- De inversiecirkel wordt niet puntsgewijs op zichzelf afgebeeld: elk punt van de inversiecirkel gaat bij negatieve inversie over in z'n tegenpunt.

Loodrechte stand

figuur 3
	P en P' zijn inverse punten bij een negatieve inversie. Nu geldt: OP.OP' = - k², ma.w. PE _\|_ P'E, waarbij OE _\|_ PP'.

Hulpcirkels

figuur 4		figuur 5
			Bij het maken van tekening is het soms handig gebruik te maken van een hulpcirkels voor de constructie van P' uit P. In figuur 4: P en P' zijn inverse punten bij een (positieve) inversie In figuur 5: P en P' zijn inverse punten bij een negatieve inversie.

Invariante cirkel

figuur 6

Voor de algemene definitie van een positieve inversie (met centrum O) die een gegeven cirkel (straal R) niet-puntsgewijs invariant laat, maken we gebruik van de in figuur 6 staande situatie.
Hierbij is:
- OP . OP' = k²
zodat:
- OP' = k² / OP = (d² - R²) / OP

Gevolg
Deze constructie is eveneens geldig voor een negatieve inversie.
In dit geval ligt O binnen de invariante cirkel (immers dan is: d² - R² < 0).

Klik hier >< voor een CabriJavapplet die deze afbeelding illustreert.

Op de applet-pagina kunnen enkele eigenschappen van de afbeelding worden onderzocht.

Toepassing(en)
Iinversie waarbij een cirkel niet-puntsgewijs invariant is, heeft onder meer de volgende toepassing(en)
- Vraagstuk van Castillon

[p: inversie2.htm] laatste wijziging op: 06-12-2004