Apollonius-cirkel(s), isodynamische punten

Zie ook de pagina "Isodynamische punten"

Overzicht

Definitie
Constructie
Apollonius-cirkels van een driehoek / Isodynamische punten
Andere eigenschappen

1. Definitie
We zoeken de meetkundige plaats van alle punten P waarvan voor de afstanden van dat punt tot twee vaste punten A en B geldt:
PA / PB = k
Als k = 1, dan geldt PA = PB. De gezochte meetkundige plaats is dan de middelloodlijn van AB.
We veronderstellen nu k ¹ 1.

figuur 1a

Kiezen we nu (bijvoorbeeld) k = 2, dan kunnen we op de lijn AB (in ieder geval)twee punten P vinden waarvoor PA : PB = 2 : 1; zie de punten C en D in figuur 1a.

Hierin is: CA : CB = 2 :1 en DA : DB = 2 :1.
Maar er zijn natuurlijk meer punten P.

We moeten het punt P zò kiezen, dat PA = 2 PB.
We kunnen de ligging van P nu onderzoeken door een cirkel te tekenen met middelpunt B en straal ½PA.
P moet nu op deze cirkel liggen (zie figuur 1b).

figuur 1b

Immers, als P op de cirkel (P, ½PA) ligt, dan is
PA : PB = 2 : 1.

Het bovenstaande is opgenomen in de nu volgende CabriJava-animatie.

|§| Klik hier om met behulp van een animatie de meetkundige plaats van de punten P te vinden.

Stelling 1
De meetkundige plaats van de punten X, waarvoor XA : XB = k : 1 (met k ¹ 1) is een cirkel met CD als middellijn, waarbij C en D punten zijn die het lijnstuk AB in- en uitwendig verdelen in de verhouding k.
Deze cirkel heet de Apollonius-cirkel bij de verhouding k.

Bewijs:
(deel 1) Stel X is een punt van de meetkundige plaats.

figuur 2

Zie nu figuur 2.

We kiezen: BC = a, CA = ka, XB = d, XA = kd.
Nu is dus XC bissectrice van hoek AXB, en XD is buitenbissectrice van die hoek (vanwege dezelfde verhouding tussen de stukken).
Dus hoek CXD = 90° .

Dus X ligt op de cirkel met middellijn CD (cirkel van Thales).

|§| Klik hier om met behulp van een animatie de cirkels van Apollonius bij verschillende verhoudingen k te bekijken.

(deel 2) Stel X ligt op de cirkel met middellijn CD. Te bewijzen is nu: AX : BX = k : 1.

figuur 3

Zie nu figuur 3.
Zijn A’, B’ de projecties van A, B op de lijn door D en X.
Nu geldt: BB’ : AA’ = 1 : k.
Ook is nu: B’X : XA’ = BC : CA = 1 : k.
Dus BB’X ~ AA’X, zodat
BX : AX = BB’ : AA’ = 1 : k.
Zodat AX : BX = k : 1. ¨

Opmerking
De meetkundige plaats van de punten waarvan afstanden tot twee rechte lijnen zich verhouden als a : b, bestaat uit twee rechte lijnen.
Zie hiervoor Isogonale verwantschap.
[einde Opmerking]

2. Constructie van de Apollonius-cirkel

Oplossing 1
Zijn C en D de punten die een lijnstuk AB in- en uitwendig verdelen in een verhouding v.
De punten A, B, C, D liggen dus harmonisch.
Wanneer we nu alleen het punt C kennen, dan kunnen we het punt D dus als vierde harmonische bij A, B en C construeren.
De cirkel van Apollonius bij AB en verhouding v is dan de cirkel met middellijn CD.

Oplossing 2
Is de verhouding gegeven door de lengte van twee lijnstukken p en q, dan verloopt de constructie het eenvoudigst op basis van gelijkvormigheid van driehoeken.

Teken op een lijn door A het lijnstuk p, aanweerszijden van A. Teken op een lijn door B (evenwijdig met die door A) het lijnstuk q.
De verbindingslijnen van de eindpunten (zie nevenstaande figuur) snijden de drager van het gegeven lijnstuk AB in de punten C en D.
De punten C en D verdelen AB dan in- en uitwendig in stukken die zich verhouden als p : q.
De cirkel met middellijn CD is dan de gevraagde Apollonius-cirkel.

¤ Zie CabriFAQ 43 voor een macro-constructie die op deze oplossing gebaseerd is.

3. Apollonius-cirkels van een driehoek / Isodynamische punten
Gaan we uit van een ongelijkzijdige driehoek ABC met zijden a, b, c.
Voor de punten X van de Apollonius-cirkel bij de verhouding b/a geldt XA : XB = b : a.
Het punt C ligt dus op die Apollonius-cirkel, evenals de snijpunten P en Q van de binnen- en buitenbissectrice van hoek C met de zijde AB.
Deze cirkel heet wel C-Apollonius-cirkel van driehoek ABC.
Er zijn dus drie Apollonius-cirkels bij een driehoek: AB met b/a, BC met c/b, CA met a/c (zie figuur 4, waarin slechts twee cirkels getekend zijn; de A- en de B-cirkel).

Stelling 2
De drie Apollonius-cirkels van een ongelijkzijdige driehoek snijden elkaar in twee punten.

Bewijs:
Zie figuur 4, waarin M_a en M_b de middelpunten zijn van de Apollonius-cirkels op BC en CA.

figuur 4

We ordenen de zijden van de driehoek zo, dat a > b > c.
Voor het punt X op de Apollonius-cirkel van AC geldt:
XA : XC = c : a.
Omdat c < a, geldt dat A binnen deze cirkel ligt.
Voor het punt X op de Apollonius-cirkel van BC geldt:
XB : XC = c : b.
Omdat c < b geldt, dat B binnen deze cirkel ligt.
Beide cirkels hebben dus twee snijpunten. Stel dat P zo’n snijpunt is.
Voor P geldt: PB/PC = c/b èn PA/PC = c/a.
Dus PA/PB = (c/a) / (c/b) = b/a.
Dus het punt P ligt ook op de Apollonius-cirkel van AB.¨

De beide gemeenschappelijke punten heten de isodynamische punten van de driehoek.
¤ Zie verder de pagina "Isodynamische punten"

Stelling 3
Als in driehoek ABC geldt dat a > b > c, en R_a, R_b, R_c zijn de stralen van de Apollonius-cirkels, dan is
1 / R_b = 1 / R_a + 1 / R_c

Bewijs (zie figuur 5):

figuur 5

We drukken R_a eerst uit in de zijden van de driehoek.
Voor positieve k hebben we: kc + kb = a, zodat k = a / (b + c).
Dus BD = ac / (b + c)
EC - EB = a = lb - lc = l (b - c) waaruit volgt l = a / (b - c).
Dus EB = ac / (b - c).

DE = EB + BD	=	ac / (b + c) + ac / (b - c)
	=	(abc - ac² + abc + ac²) / (b² - c²)
	=	2abc / (b² - c²).

R_a = ½DE = abc / (b²-c²)
Evenzo: R_b = abc / (a² - c²) en R_c = abc / (a² - b²).

Dus 1 / R_a + 1 / R_c = (b² - c² + a² - b²) / abc = (a² - c²) / abc = 1 / R_b. ¨

Stelling 4
De drie middelpunten van de Apollonius-cirkels van een driehoek zijn collineair.

Bewijs (zie figuur 6)

figuur 6

M_a, M_b, M_c zijn de middelpunten van de Apollonius-cirkels van driehoek ABC.

Zijn P en Q de isodynamische punten van de driehoek.
Het lijnstuk PQ is van elk tweetal Apollonius-cirkels een gemeenschappelijke koorde.
De centraal van elk tweetal Apollonius-cirkels deelt die koorde middendoor. ¨

Opmerking
De collineatie-as van de middelpunten van de cirkels van Apollonius heet de Lemoine-lijn (naar Emile Lemoine, 1840-1912, Frankrijk)
¤ Zie verder de pagina "Isodynamische punten"
[einde Opmerking]

Stelling 5
De Apollonius-cirkels van een driehoek snijden de omgeschreven cirkel van die driehoek loodrecht.

figuur 7

Bewijs:
Het bewijs hiervan kan gemakkelijk geleverd worden door gebruik te maken van harmonische ligging.
Klik hier voor het bewijs.
¨

Opmerking
Stelling 5 komt ook ter sprake op de pagina "Isodynamische punten".
[einde Opmerking]

Stelling 6
De Apollonius-cirkels van een driehoek snijden elkaar twee aan twee onder hoeken van 60° .

Bewijs:
Dit bewijs verloopt op eenvoudige wijze door gebruik te maken van harmonische ligging en inversie.
Klik hier voor het bewijs.¨

4. Andere eigenschappen
[1]
Apollonius-cirkels spelen, zoals opgemerkt bij enkele stellingen in paragraaf 3, ook een rol bij harmonische ligging.
Klik hier voor een bewijs van enkele van deze eigenschappen.
[2]
¤ Zie ook de pagina "Isodynamische punten" voor enkele eigenschappen in samenhang met de Lemoine-lijn.
[3]
Op die pagina wordt ook bewezen, dat de voetpuntsdriehoek van een isodynamisch punt gelijkzijdig is (klik hier voor die stelling).

[apolcirk.htm] laatste wijziging op: 18-01-2018