Isogonale verwantschap, antiparallel, punt van Lemoine

Overzicht ][ DK & Meetkunde

Zie ook het Cabri-werkblad "Isognaalafbeelding".
Zie ook de pagina "Meer over isogonale verwantschap" / Zie ook de pagina "Twee raaklijnen aan een ellips"

Overzicht

Inleiding
Isogonale verwantschap
Antiparallel
Enkele stellingen
Definitie symmediaan
Punt van Lemoine

1. Inleiding, isogonale verwantschap
De cirkel van Apollonius is de meetkundige plaats is van de punten waarvan de afstand tot twee vaste punten gelijk is aan a : b.
We bekijken nu de verzameling van de punten waarvoor de afstanden tot twee vaste rechte lijnen gelijk is aan a : b.

Stelling 1
De meetkundige plaats van de punten waarvan de afstand tot twee snijdende lijnen l en m zich verhouden als twee lijnstukken a en b, bestaat uit twee rechten door het snijpunt van l en m.

Bewijs: Zie figuur 1.

figuur 1

Het punt P, waarvan de afstand tot l gelijk is aan a en de sftand tot gelijk is aan b behoort in ieder geval tot de verzameling (P is het snijpunt van de lijnen l' en m' op afstand a resp. b van l en m).
Zij X een punt op de halve lijn v₁ door S en P.
Nu is
SP : SX = a : x₁
SP : SX = b : x₂
Zodat a : x₁ = b : x₂ of x₁ : x₂ = a : b
De lijn v₁ behoort dus tot de verzameling.

Omgekeerd.

figuur 2

Stel het punt X voldoent aan de eigenschap, waarbij d(X₁, l) = a en d(X₁, m) = b.
Stel XX₁ snijdt l, m opvolgend in P en Q, waarbij X₁P = p en X₁Q = q.
Dan is PX = kp en QX = kq.
Voor PQ hebben we dan PQ = X₁P - X₁Q = XP - XQ of
p - q = kp - kq = k(p-q)
Wegens k ¹ 1 is dus c = d; maw. P valt samen met Q.
Dus de lijn XX₁ gaat door S. ¨

Opmerking
Door de keuze van de lijnen l' en m' aan een andere kant van l; en/of m', vinden we de overige drie halve lijnen door S die de rest van de meetkundige plaats vormen.
[einde Opmerking]

Definitie
Twee lijnen l en m heten isogonaal verwant tov. een hoek S, als ze door S gaan én elkaars spiegelbeeld zijn in de bissectrice van die hoek S (zie figuur 3).

Stelling 2
Zijn l en m isogonaal verwant tov. hoek S(p,q), en zijn P en Q punten op opvolgend l en m, dan is het product van de beide afstanden tot p gelijk aan het product van de beide afstanden tot q.

Bewijs: zie figuur 3.

figuur 3

l is een lijn als in stelling 1.
Voor elk punt van l is er dus een vaste verhouding van de afstanden tot p en q. Stel deze verhouding is k : l.
Stel nu SP = a; dan is d(P,p) = ka en d(P,q) = la.
m is eveneens een lijn als in stelling 1.
Vanwege de symmetrie tov de bissectrice, bestaat op deze lijn dezelfde verhouding.
Stel SQ = b; dan is d(Q,p) = lb en d(Q,q) = kb.
Beide producten ka · lb en la · kb zijn dus aan elkaar gelijk.¨

Stelling 3a
[3a.1] Als drie hoektransversalen van driehoek (waarvan éen in elk hoekpunt) concurrent zijn, dan zijn de isogonaal-verwanten daarvan eveens concurrent.
[3a.2] De voetpuntscirkels van twee isogonaal verwante punten (zie Opmerking 1) van een driehoek vallen samen.

Bewijs:

figuur 4.1

[3a.1] zie figuur 4.1
Het bewijs volgt uit stelling 2 en de stelling van Ceva. ¨

Klik hier voor een animatie van deze eigenschap.

Opmerkingen
[1]
De punten P en P' heten ook wel isogonaal verwante punten (of ook wel isogonaalpunten) van de driehoek.
Zie ook de pagina "Barycentrische coördinaten".

[2]
Elk punt van een zijde van de driehoek (niet zijnde een hoekpunt) is isogonaal verwant met het overstaande hoekpunt van die zijde.
[einde Opmerkingen]

figuur 4.2a

[3a.2] zie figuur 4.2a
De driehoeken BPE en BP'F' zijn gelijkvormig, immers ÐPBE = ÐP'BF' terwijl beide driehoeken een rechte hoek hebben.
Dus:
   BE : BF' = PE : P'F' of
   PE . BF' = P'F' . BE .....(1)
De driehoeken BPF en BP'E' zijn gelijkvormig, waaruit volgt
   BF : BE' = PF : P'E' of
   PF . BE' = P'E' . BF .....(2)
Uit stelling 2 volgt
   PE . P'E' = PF . P'F' .....(3)

Uit (1), (2) en (3) volgt door vermenigvuldiging en deling:
BE . BE' = BF . BF'
De punten E, E' , F, F' liggen dus op een cirkel c₁.
Op dezelfde manier bewijzen we, dat F, F', D, D' op een cirkel c₂ en D, D', E, E' op een cirkel c₃ liggen.
Stel c₁ en c₂ zijn verschillend. Ze gaan beide door F, en F'.
De machten van A ten opzichte van beide cirkels zijn dan gelijk. A ligt dan op de machtlijn, BC, van c₁ en c₂. Tegenspraak.
De cirkels c₁ en c₂ (en ook c3) vallen dus samen. ¨

Opmerkingen
[1]
Het middelpunt van de voetpuntscirkel is het midden van PP'.
Immers:
D en D' op de cirkel. Middelpunt ligt op de middelloodlijn van DD'.
E en E' op de voetpuntscirkel. Middelpunt ligt op de middelloodlijn van EE'.
In de rechthoekige trapezia PP'D'D en PP'E'E zijn die middelloodlijnen middenparallellen van de opstaande zijde.
Beide middelloodlijnen gaan dus door het midden van PP'.

Gevolg van Opmerking 1
De isogonaal geconjugeerde P' van een punt P tov. een driehoek ABC is het middelpunt van de cirkel door de gespiegelden van P in de zijden van die driehoek.

Bewijs:

figuur 4.2b

Zij M het midden van PP'. Zijn verder Pa, Pb, Pc de spiegelbeelden van P in de zijden van driehoek ABC.
M is dus het middelpunt van de voetpuntscirkel van de punt P en P (zie Opmerking 1 hierboven).
We beschouwen nu de vermenigvuldiging met centrum P en factor 2.
Hierdoor gaat deze cirkel over in de cirkel door Pa, Pb, Pc.
Het punt M gaat daardoor over in P'.
P' is dus het middelpunt van die laatste cirkel ¨

[2]
Stelling 3.2 wordt op de pagina "Cirkels van Droz-Farny" op een iets andere manier bewezen.
[3]
Zie ook de pagina "Oppervlakte van voetpuntsdriehoeken"
[4]
Zie ook Stelling 4 op de pagina "Meer over isogonale verwantschap"
[einde Opmerkingen]

Gevolg
Kiezen we het punt P als hoogtepunt, dan weten we dat de cirkel van Feuerbach (negenpuntscirkel) de voetpuntscirkel van P is.
Deze cirkel gaat ook door de middens van de zijden van de driehoek.
Dus:

Stelling 3b
Het hoogtepunt H en het middelpunt M van de omgeschreven cirkel van een driehoek zijn isogonaal verwante punten van die driehoek.

Klik hier voor een animatie van deze eigenschap.

Tweede bewijs:
We kunnen dit ook direct afleiden uit de hoek die de hoogtelijn uit een hoekpunt en de middellijn van de omgeschreven cirkel door dat hoekpunt met de zijden van de driehoek maken. Zie figuur 4.3.

figuur 4.3

Hierin is:

Ð A₁	=	90º - Ð B
Ð A₃	=	½bg QC = ½ (bg ACQ - bg AC)
	=	90º -½bg AC
	=	90º - Ð B ¨

Opmerking
Zie ook de pagina "Oppervlakte van voetpuntsdriehoeken"
[einde Opmerking

[einde Gevolg]

Stelling 3c
Het beeld van de omcirkel van driehoek ABC bij een isognale afbeelding is de oneigenlijke rechte.

Bewijs:

figuur 4.4

In de figuur is ABX = ACX (omtrekshoeken op dezelfde cirkelboog).
Wegens de spiegelingen van XB em XC in de bissectrices (met beelden BB' en CC') hebben we
B'BC = C'CB
waaruit evenwijdigheid van de lijnen BB' en CC' volgt.
Het isogonaalbeeld van X is dus het oneigenlijke punt van BB' en CC'.
De omcirkel wordt dus afgebeeld op de oneigenlijke rechte. ¨

Klik hier voor een CabriJavapplet bij deze stelling.

2. Antiparallel

Definitie
Twee lijnen l en m heten antiparallel ten opzichte van de lijnen p en q, indien er twee lijnen l' (// l) en m' (// m) zijn die met p en q isogonaal verwant zijn (zie figuur 5).

figuur 5

In plaats van "antiparallel ten opzichte van p en q" spreekt men ook wel van "antiparallel ten opzichte van hoek S", als S het snijpunt is van de lijnen p en q.

Nb.
Als "l en m antiparallel met p en q", dan ook p en q antiparallel met l en m".

Opmerkingen
[1]
Het begrip "antiparallel" wordt in een enkel geval gebruikt om te bewijzen dat twee lijnen evenwijdig zijn.
Bij inversie is de lijn door twee punten P en Q antiparallel met de lijn door de beeldpunten P' en Q' (zie figuur X).
Een bewijs als bedoeld in de eerste zin kan dus vaak van pas komen bij gebruik van inversie (zie Inversie en de Stelling van Feuerbach).
[2]
Zie ook het Cabri-werkblad "Parallel en antiparallel"
[einde Opmerking]

figuur 6

3. Enkele stellingen

Stellling 4a
De zijden van de voetpuntsdriehoek van de hoogtelijnen van een driehoek zijn antiparallel met de zijden van de driehoek

Bewijs: zie figuur 7.

figuur 7

In deze figuur zijn BD en CE hoogtelijnen. Nu is BCDE een koordenvierhoek, immers BDC = CEB = 90º.
In deze koordenvierhoek is dus B + EDC = 180º.
B = 180º - EDC = EDA.
Waaruit het gestelde voor DE en BC (tov. hoek A) volgt.
Op dezelfde manier wordt eea. bewezen voor de andere zijden van de voetpuntsdriehoek. ¨

Stelling 4b
De inwendige raaklijnen aan twee cirkels zijn antiparallel tov. de hoek tussen de beide uitwendige raaklijnen.

Bewijs: zie figuur 8.

figuur 8

In figuur 8 zijn de gemeenschappelijke raaklijnen aan I en I_a (van driehoek ABC) getekend.
Vanwege de symmetrie (in AI_a) geldt:
Ð P₁ = Ð C
Dus BC en PQ antiparallel zijn (tov. hoek A). ¨

Voor de behandeling van het punt van Lemoine zijn de volgende eigenschappen van belang.

Definitie
De isogonaal-verwante van een zwaartelijn (mediaan) van een driehoek heet symmediaan van die driehoek.(zie figuur X).

Stelling 5
[1] Een symmediaan verdeelt de overstaande zijde in stukken die zich verhouden als de kwadraten van de opstaande zijden.
[2] De afstanden van een punt van die symmediaan tot de opstaande zijden verhouden zich als die opstaande zijden.
[3] Een symmediaan gaat door het midden van een lijnstuk dat antiparallel is met de overstaande zijde.

Bewijs:

figuur 9.1

[1] zie figuur 9.1.
De symmediaan uit A snijdt BC in het punt E. We dienen nu te bewijzen, dat
BE : CE = c² : b²
Zij D het midden van BC. Dan is

BE / CE	=	vanwege BD = CD
	=	(BE / CD) x (BD / CE)
	=	F(BAE)/F(DAC) x F(BAD)/F(EAC) waarin F de oppervlaktefunctie is
	=	(c.s_a/b.z_a) x (c._za / b.s_a) = c² / b²¨

figuur 9.2

[2] zie figuur 9.2
   F(ACE) / F(ABE) = CE / BE = b² / c² (zie stelling 5.1)
   F(ACE) = ½ qb · k met k = AE/AP
   F(ABE) = ½ rc · k
   qb / rc = b² / c²,
waaruit dus
   q / r = b / c ¨

Opmerking
Een ander bewijs voor deze eigenschap staat in de Opmerking bij stelling 8.
[einde Opmerking]

figuur 9.3

[3] zie figuur 9.3.
De lijn e (evenwijdig aan BC) snijdt de opstaande zijden in P en Q.
De lijn z_a gaat door het midden van PQ.
Spiegeling van z_a in de bissectrice van hoek A samen met driehoek APQ geeft s_a met driehoek AQ'P'.
Nu is in driehoek AQ'P':
Ð Q' = Ð Q (in driehoek APQ) = Ð B.
De symmediaan van A gaat dus door het midden van P'Q' die antiparallel is met BC (tov. hoek A). ¨

4. Punt van Lemoine

Overzicht

Punt van Lemoine (stelling 6)
Punt van Lemoine in een rechthoekige driehoek (stelling 7)
Voetpuntsdriehoek van het punt van Lemoine (stelling 8)
Afstand van het punt van Lemoine tot de zijden van een driehoek (stelling 9)
Samenhang met de polen van de zijden tov. de omgeschreven cirkel (stelling 10)
Lemoine-cirkels

Stelling 6
De symmedianen van een driehoek gaan door één punt.
Dit punt heet het symmediaanpunt of het punt van Lemoine (Emile Lemoine, 1840-1912, Frankrijk) van die driehoek, en wordt meestal aan gegeven met K.

Zie ook de pagina "Barycentrische coördinaten"

Bewijs: zie figuur 10.

figuur 10

Dit volgt onmiddellijk uit de definitie van symmediaan en stelling 3; immers de zwaartelijnen van een driehoek zijn concurrente hoektransversalen (dit laatste is weer een gevolg van de stelling van Ceva). ¨

Opmerkingen
[1]
Het punt van Lemoine heet ook wel het symmediaanpunt of punt van Grebe van de driehoek (naar Ernst Wilhelm Grebe, 1804-1874, Duitsland).
Klik hier voor Grebe's constructie van het symmediaanpunt.
[2]
Er is bestaat ook een lijn van Lemoine; namelijk de collineatie-as van de middelpunten van de cirkels van Apollonius van een driehoek.

[3]
Er bestaat ook een cirkel van Lemoine. Deze cirkel (de eerste cirkel van Lemoine) speelt een rol bij het verband tussen het punt van Lemoine, een Miquel-punt en de punten van Brocard.
Klik hier voor een beschrijving van dat verband.

Een algemene behandeling van de beide Lemoine-cirkels wordt gegeven op de pagina "Tucker-cirkels".
De beide Lemoine-cirkels komen ook aan de orde op het Cabri-werkblad "Parallel en antiparallel".

[einde Opmerkingen]

Stelling 7
Het punt van Lemoine van een rechthoekige driehoek is het midden van de de hoogtelijn op de hypothenusa.

Bewijs: zie figuur 11.

figuur 11

In de rechthoekige driehoek is BE antiparallel met BC (tov hoek A).
s_a gaat door het midden van BE (zie stelling 5.3).
Maar ook:
BE is antiparallel met AB (tov. hoek C).
s_c gaat door het midden van BE.
Het midden van BE is dus het punt van Lemoine van de rechthoekige driehoek.¨

Klik hier voor een animatie van deze eigenschap.

Stelling 8
De voetpuntsdriehoek van het punt van Lemoine heeft dat punt als zwaartepunt.

Bewijs:
We zullen voor deze stelling twee bewijzen geven (klik hier voor het 2e bewijs).

1e bewijs: zie figuur 12.

figuur 12

De punten A₁, B₁, C₁ vormen de voetpuntsdriehoek van K (het punt van Lemoine van driehoek ABC).
Het punt P is het snijpunt van z_a (= AD) met B₁C₁.
AC₁KB₁ is een koordenvierhoek met middellijn AK. Dus:
Ð AB₁C₁ = Ð AKC₁ (staan op gelijke bogen).
AK = s_a, dus Ð C₁AK = Ð B₁AP.
De driehoeken AKC₁ en AB₁P hebben dus twee hoeken gelijk; dus ook de derde:
Ð C₁ = Ð P = 90º .
De lijn AD snijdt de lijn door C evenwijdig aan AB in het punt A'.
Nu is driehoek ACA' ~ driehoek B₁KC₁ (hh), immers Ð KB₁C₁ staat op de boog KC₁, waarop ook hoek AC₁K staat) (zie ook Opmerking).
Verder is CD zwaartelijn van driehoek ACA'.

Voor deze gelijkvormige driehoeken geldt nu
AC ^ BK, AA' ^ B₁C₁ en CA' (// AB) ^ KC₁.
Vanwege de loodrechte stand van de overeenkomstige zijden staat dus CD (zwaartelijn uit C in ACA') ook loodrecht op de zwaartelijn uit K in driehoek B₁KC₁.

Dus is A₁A₂ (A₂ is het snijpunt van A₁K met B₁C₁) een zwaartelijn van driehoek A₁B₁C₁.
Evenzo geldt dit voor B₁K en C₁K.
K is dus zwaartepunt van driehoek A₁B₁C₁. ¨

Opmerkingen
[1]
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken ACA' en B₁KC₁ volgt ook:
   CA' : KC₁ = AC : B₁K of
   c : KC₁ = b : B₁K
zodat
   KB₁ : KC₁ = b : a
waarmee we op een andere manier stelling 5.2 bewezen hebben.
[2]
Zie ook Hulpstelling 7 op de pagina "Meer over isogonale verwantschap"
[einde Opmerking]

2e bewijs: zie figuur 13.

figuur 13

Volgens stelling 5.2 geldt voor de afstanden van het punt K tot de zijden van de driehoek
KA₁ : KB₁ : KC₁ = a : b : c
Er is dus een factor p zodat KA₁ = pa, KB₁ = pb en KC₁ = pc.
Voor de oppervlakte F van driehoek KB₁C₁ geldt dus:
F = ½KB₁.KC₁.sin(180º-a) = ½p²bc.sin(a) = p²O.
Hierin is O de oppervlakte van driehoek ABC
De oppervlakte F is dus onafhankelijk van B₁ en C₁.
Dus hebben de driehoeken KB₁C₁, KA₁C₁ en KA₁B₁ gelijke oppervlaktes.
Dus is K het zwaartepunt van driehoek A₁B₁C₁. ¨

Gevolg
Uit dit tweede bewijs kunnen we de factor p bepalen. Immers
O = ½KA₁.a + ½KB₁.b + ½KC₁.c = ½p(a² + b² + c²), zodat
p = 2O / (a² + b² + c²)

Zie ook de pagina "De constructie en de stelling van Grebe".

[einde Gevolg]

Hiermee samenhangend kunnen we ook nog bewijzen:

Stelling 9
Het punt waarvoor de som van de kwadraten van de afstanden tot de zijden van een driehoek minimaal is, is het punt van Lemoine van die driehoek.

Bewijs:
Voor het punt X met afstanden x, y, z tot de zijden a, b, c van een driehoek met oppervlakte O geldt
2O = ax + by + cz
Gemakkelijk is na te gaan dat de volgende identiteit van Lagrange (Joseph-Louis Lagrange, 1736-1813, Italië/Frankrijk) geldt

isogon14

Hieruit volgt onmiddellijk:

waarbij het gelijkteken alleen geldt als x : y : z = a : b : c (drie laatste termen gelijk aan 0).
Dus als X samenvalt met het punt van Lemoine van de driehoek, is de waarde van x² + y² + z² minimaal. ¨

Opmerking
Zie ook de pagina "Barycentrische coördinaten"
[einde Opmerking]

Stelling 10
K is het snijpunt van de lijnen die de polen van de zijden tov. de omgeschreven cirkel verbinden met het overstaande hoekpunt
OF
De symmedianen van een driehoek gaan door de polen van de zijden tov. de omgeschreven cirkel.

Bewijs: zie figuur 14.

figuur 14

C' is de pool van de zijde AB.
t is de lengte van het raaklijnstuk uit C' aan de omgeschreven cirkel..
C₁ en C₂ zijn de projecties van C' op de zijden Bc en AC.
Nu is sin A = C'C₁/ t en sin B = C'C₂ / t (zie de bogen van de omtrekshoeken).
Dus:
C'C₁ : C'C₂ = sin A : sin B = a : b
C' ligt dus op de symmediaan van C (zie stelling 5.2).
Analoog kan dit bewezen worden voor de polen A' en B'.
Waarmee het gestelde is aangetoond. ¨

Lemoine-cirkels
Op het Cabri-werkblad "Parallel en antiparallel" worden de beide Lemoine-cirkels behandeld.
Deze cirkels hangen ten nauwste samen met de parallellen en antiparallelen van de zijden van een driehoek.

figuur 15	figuur 16

Eerste Lemoine-cirkel	Tweede Lemoine-cirkel

De Lemoine-cirkels zijn twee cirkels uit een klasse van cirkels, de zogenoemde Tucker-cirkels.

[isogon.htm] laatste wijziging op: 16-05-2007