Twee raaklijnen aan een ellips; orthoptische cirkel

Overzicht ][ Anal. meetkunde | Kegelsneden | Meetkunde

0. Overzicht

Hoofdeigenschap van de raaklijn aan een ellips
Gevolg
Raaklijnen uit een punt
Gevolgen (oa. constructie van de raaklijnen)
Orthoptische cirkel
Isogonaal-eigenschappen
Referenties

1. Hoofdeigenschap van de raaklijn aan een ellips

Stelling 1
De raaklijn in een punt van een ellips is bissectrice van de buitenhoek van de hoek tussen de brandpuntsvoerstralen naar dat punt.

Bewijs:

figuur 1

We weten dat PF₁ + PF₂ = 2a (definitie van een ellips, met 2a = lengte van de grote as).
Zij l de bissectrice van de bedoelde hoek. We bewijzen nu dat l raakt aan de ellips.
Kies op het verlengde van F₂P het punt Q zo, dat PQ = PF₁.
Kies R op l (met R ¹ P).
Nu is PQR congr PF₁R (ZHZ), zodat RF₁ = RQ.
Zodat RF₁ + RF₂ = RQ + RF₂ > QF₂ (driehoeksongelijkheid in driehoek RQF₂).
Tenslotte, RF₁ + RF₂ > 2a, omdat QF₂ = 2a.

Het punt R ligt dus niet op de ellips.
P is het enige punt van de lijn l dat op de ellips ligt. l raakt dus in P aan de ellips. ¨

Gevolg
Het spiegelbeeld Q van het punt F₁ in de raaklijn in P ligt op het verlengde van PF₂ met QF₂ = 2a.

Klik hier voor een CabriJava-applet gebaseerd op het bovenstaande.

2. Raaklijnen uit een punt
We kunnen een bijzondere meetkundige eigenschap bewijzen als we in twee verschillende punten van de ellips de raaklijnen beschouwen.
Zijn R₁ en R₂ de raakpunten. De raaklijnen in R₁ en R₂ snijden elkaar in het punt P.
Zij G₁ en G₂ de spiegelbeelden van F₁ en F₂ in de raaklijnen (zie figuur 2).

figuur 2

Stelling 2: ÐF₁PG₁ = ÐF₂PG₂

Bewijs:
Het Gevolg van Stelling 1 geeft: G₁ ligt op R₁F₂ en G₂ ligt op F₁R₂.
Verder is dan
R₁F₁ + R₁F₂ = G₁F₂ = 2a en R₂F₁ + R₂F₂ = G₂F₁ = 2a,
zodat
G₁F₂ = G₂F₁.

Voor de zijden van de driehoeken PF₁G₂ en PG₁F₂ geldt verder: PF₁ = PG₁ en PG₂ = PF₂, zodat beide driehoeken congruent zijn (ZZZ). De hoeken bij P in deze driehoeken zijn dus gelijk.
Beide hoeken hebben het hoekdeel F₁PF₂ gemeenschappelijk, zodat
ÐF₁PG₁ = ÐF₂PG₂. ¨

Opmerking. Zie ook Isogonaal-eigenschappen.

Klik hier voor een CabriJava-applet gebaseerd op het bovenstaande.

Gevolgen
[1]
ÐPG₁F₂ = ÐPF₁G₂ (zie figuur 2) ......(1)
Maar vanwege de symmetrie in de raaklijn in R₁: ÐPF₁R₁ = ÐPG₁F₂ ......(2)
(1) en (2) geven dan:

PF₁ is de bissectrice van de hoek tussen de brandpuntsvoerstralen vanuit F₁ naar R₁ en R₂.

[2]
Constructie van de raaklijnen

figuur 3

Doordat het punt G₁ op het verlengde ligt van de lijn F₂R₁ (zie figuur 2), ligt G₁ dus ook op de richtcirkel van de ellips met middelpunt F₂.
Een richtcirkel van de ellips is de cirkel met middelpunt F₂ (cq. F₁) en straal 2a (de lengte van de grote as; zie ook de pagina "Ellipsconstructie 4b").
Hieruit kan een constructie van de raaklijnen uit P aan de ellips worden afgeleid.
In figuur 3 snijdt de cirkel (P, PF₁) de richtcirkel in de punten G₁ en G₁'.
De middelloodlijnen van de lijnstukken F₁G₁ en F₁G₁' (die uiteraard door P gaan) zijn nu de raaklijnen aan de ellips.

Klik hier voor een illustratie van deze constructie.

3. Orthoptische cirkel
Zij nu ÐR₁PR₂ = 90°.
We hebben dan een rechte "kijkhoek" vanuit P tov. de ellips.

Stelling 3
De meetkundige plaats van de punten met een rechte kijkhoek tov. een ellips is een cirkel met als middelpunt het middelpunt van de ellips en als straal Ö(a² + b²), waarin a en b de lengtes zijn van de halve assen van de ellips.
De cirkel heet orthoptische cirkel van de ellips.

Bewijs:

figuur 4

We weten F₁F₂² = (2c)² = 4c².
Nu is PO² = ½ PF₁² + ½ PF₂² - ¼ F₁F₂² (zwaartelijnformule in driehoek PF₁F₂), of
   PO² = ½ (PF₁² + PF₂²) - c²
Verder is ook ÐF₁PG₂ = 90°, zodat in driehoek F₁PG₂ geldt:
   PF₁² + PG₂² = F₁G₂² =(2a)² = 4a².
En dus, wegens PF₂ = PG₂, PF₁² + PF₂² = 4a².
Voor PO² hebben we dan:
   PO² = ½(4a²) - (a² - b²) = a² + b². ¨

Opmerking
De orthoptische cirkel wordt ook wel cirkel van Monge genoemd (naar Gaspard Monge, 1746-1818, Frankrijk)
[einde Opmerking]

Klik hier voor een CabriJava-applet gebaseerd op het bovenstaande.

¤ Zie ook Referenties [1].

4. Isogonaal-eigenschappen
Zie figuur 4. Uit die figuur blijkt dat ÐF₁PG₁ = ÐF₂PG₂.
Maar dan geldt ook:
ÐF₁PR₁ = ÐF₂PR₂ ......(3)
immers de beide raaklijnen zijn middelloodlijnen in de driehoeken F₁PG₁ en F₂PG₂.
Maar (3) wil niets anders zeggen, dan dat de raaklijnen in R₁ en R₂ isogonaal verwant zijn met de lijnen PF₁ en PF₂.

5. Referenties

[1]		DICK KLINGENS, De orthoptische cirkel van een ellips (de Monge-cirkel), PDF-bestand (ca. 115 Kb), 31 jan. 2007
[2]		P. MOLENBROEK, Leerboek der Vlakke Meetkunde, P. Noordhoff N.V., Groningen (1924)
[3]		J.G. RUTGERS, Beknopte Analytische Meetkunde, P. Noordhoff N.V., Groningen (1946)
[4]		J. VERSLUYS, Meetkunde der kegelsneden, A. Versluijs, Amsterdam (1909)

[orthopt.htm] laatste wijziging op:29-03-07