Ellips-constructies met Cabri [4b]

Constructie  |  Bewijs  ][  Kegelsneden  |  Macro's voor kegelsneden  |  Cabri

vorige Vorige begin Begin volgende Volgende

4b. Een ellips voortgebracht via een brandpunt en een richtcirkel
We gaan uit van een punt F en een cirkel met middelpunt M en straal a.
F ligt binnen de cirkel.
Zij nu P een punt van de cirkel.
We zoeken nu de meetkundige plaats van de punten X, waarvoor XP = XF (bij variabele P).

Constructiestappen

figuur 4b ellipsd4b

Klik hier cabrismall voor een animatie bij deze constructie.

Bewijs
Uit de constructie (zie Constructiestappen) volgt:
XM + XF = XM + XP = MP = 2a.
Uit de gebruikelijke definitie van de ellips (zie paragraaf 0) volgt nu, dat X op een ellips ligt.

De cirkel wordt de richtcirkel van de ellips genoemd (zie ook Opmerking 1).
De straal van de richtcirkel is gelijk aan de lengte van de grote as van de ellips.
Het punt M is dus het tweede brandpunt (F2) van de ellips.
De ellips heeft een tweede richtcirkel, nl. de cirkel met middelpunt F (met straal gelijk aan 2a).

Opmerkingen
[1]
Op deze constructie is ook een stangenmechanisme gebaseerd waarmee een ellips getekend kan worden.

trammel Via het punt F is een ruit geconstrueerd waarbij het punt X beweegbaar is.
Verschuifbaar rond X is een stang bevestigd met als andere eindpunt het punt O. Deze laatste stang heeft in het punt Y een tekenstift die binnen de diagonaalstang van de ruit heen en weer schuift, als het punt X wordt bewogen.

N.B. Het punt X draait door het stangenmechanisme over een cirkel!

Klik hier >Animatie< voor een animatie van dit stangenmechanisme.

Nevenstaand mechanisme wordt in de Engelse literatuur wel "Trammel van Archimedes" genoemd. Maar of Archimedes hier iets mee te maken heeft gehad moet ernstig worden betwijfeld.
(Opmerking. Het werkwoord 'to trammel' heeft in het Engele de betekenis 'beperken'.)

[2]
Zie voor een uitvoerige behandeling van enkele meetkundige eigenschappen van de richtcirkel de pagina "Over de richtcirkel van een ellips".
[3]
De richtcirkel van een ellips kan worden gebruikt voor de constructie van de raaklijnen uit een punt aan de ellips.
Zie de pagina "Twee raaklijnen aan een ellips".
[einde Opmerking]


vorige Vorige begin Begin volgende Volgende

[ellips4b.htm] laatste wijziging op: 02-03-2005