Meer over barycentrische coördinaten

Overzicht  ][  Coördinatenstelsels | Meetkunde | Anal.Meetkunde

Overzicht terug

Bijzondere punten
     - Gergonne-punt
     - Nagel-punt
     - Symmediaan-punt (Lemoine-punt)     
  • Vermenigvuldiging cabrisignal
  • Isotomisch geconjugeerde
  • Isogonaal geconjugeerde cabrisignal
  • Vierkantswortelpunt cabrisignal
  • Mittenpunkt cabrisignal
  • Referenties

    1. Download

    1. Bijzondere punten terug

    Definitie
    Onder het spoor van een punt P verstaan we het snijpunt van een ceviaan door P met de overstaande zijde van de referentiedriehoek.

    Nb.
    Een ceviaan van een driehoek is een lijn door een hoekpunt van die driehoek.

    Image121 In de hiernaast staande figuur kunnen de coördinaten van de punten A', B', C' ook worden weergeven als:
    A' = 0.00 : 0.56 : 0.40 (vermenigvuldiging met k = 0.56)
    B' = 1.00 : 0.00 : 0.40
    C' = 1.00 : 0.56 : 0.00

    Gevolg

    Stelling 1
    Is P = x : y : z, dan geldt voor de sporen A', B', C' van P:
       Image122   ……(1)
    Omgekeerd:
    Hebben de punten A', B', C' barycentrische coördinaten zoals in (1), dan zijn de lijnen AA', BB', CC' concurrent in een punt met coördinaten
    x : y : z.

    Het Gergonne-punt van een driehoek terug


    De punten Ga, Gb, Gc zijn de raakpunten van de incirkel van driehoek ABC met de zijden.
    Zie ook de pagina "Gergonne-punt en Gergonne-driehoek"
    Image123 Nu geldt op BC: BGa = s-b, CGa = s-c
    Dus: Ga = 0 : s-c : s-b
    En ook:
    Gb = s-c : 0 : s-a
    Gc = s-b : s-a : 0
    Of ook (na vermenigvuldiging met de juiste factoren):
    Ga = 0 : (s-a)(s-c) : (s-a)(s-b)
    Gb = (s-b)(s-c) : 0 : (s-a)(s-b)
    Gc = (s-b)(s-c) : (s-a)(s-c) : 0

    Waarmee bewezen is dat de cevianen van de raakpunten van de incirkel (met de overstaande zijde) concurrent zijn.
    Dit punt is het Gergonne-punt G (ook wel aangegeven met Ge) van de driehoek.
    We hebben:
    G = (s-b)(s-c) : (s-a)(s-c) : (s-a)(s-b)
    of ook
    G = 1/(s-a) : 1/(s-b) : 1/(s-c)

    Het Nagel-punt van een driehoek terug


    Het Nagel-punt van een driehoek is het gemeenschappelijk snijpunt van de cevianen van de raakpunten van de uitcirkels (aangeschreven cirkels) met de overstaande zijden.
    Zie hiervoor ook de pagina "Uitcirkels".
    Image124 Op de zijde BC is BN1 = s-c, en CN1 = s-b, zodat
    N1 = 0 : s-b : s-c
    Analoog vinden we
    N2 = s-a : 0 : s-c
    N3 = s-a : s-b : 0
    Volgens Stelling 1 zijn de lijnen AN1, BN2, CN3 concurrent in het punt
    Na = s-a : s-b : s-c
    Dit is dus het Nagel-punt van driehoek ABC.

    We hebben nu verder, op basis van de barycentrische eigenschappen:
       Image125
    Of: 3Z = Na + 2I, of ook Z = 1/3 Na + 2/3 I
    In bovenstaande afleiding betekent Image126, dat het rechterlid genormaliseerd is.
    De laatste uitdrukking houdt in, dat het punt Z (het zwaartepunt van driehoek ABC) ligt op de lijn INa, en wel zo, dat
    NaZ : ZI = 2 : 1

    Opmerking
    Zie verder ook de pagina "Isotomische verwantschap"
    [einde Opmerking]

    Symmediaan-punt (Lemoine-punt) terug


    De zwaartelijnen AOa, BOb en COc worden gespiegeld in de bissectrices van de bijbehorende hoeken.
    Image127 Image128

    Zij E = Ka en D = Oa. Zij verder z = |AKa| en s = |AOa|.
    Nu is:
       Image129
    Zodat Ka = 0 : b2 : c2
    Voor overeenkomstige punten Kb, Kc op de andere zijden vinden we dan
    Kb = a2 : 0 : c2, Kc = a2 : b2 : 0
    De lijnen AKa, BKb, CKc zijn dus concurrent in een punt K met K = a2 : b2 : c2, het Lemoine-punt van driehoek ABC.

    Opmerkingen


    [1] De normaalcoördinaten van K zijn dus Knorm = a : b : c
    [2] Zie ook de pagina "Isogonale verwantschap"
    [einde Opmerking]

    2. Vermenigvuldiging

     terug
    Hulpstelling 2
    Bij twee punten Xi = 0 : yi : zi (i = 1,2) op BC zijn verder gegeven de parallellogrammen XiEiADi (Ei op CA; Di op AB).
    Dan geldt:
    De punten A, Q = BE1 /\ CD2, P = BE2 /\ CD1 zijn collineair en deze ceviaan snijdt BC in het punt
    X = 0 : y1y2 : z1z2

    Bewijs:
    Image130 We beschouwen de cevianen BE1, CD2.
    Nu is, op basis van de constructie van de parallellogrammen:
       Image131

    Uit de stelling van Ceva volgt nu (voor het punt P):
       Image132
    zodat
       Image133
    X is dus het punt met X = 0 : y1y2 : z1z2
    Met eenzelfde berekening via het punt Q vinden we eveneens het punt X, waarmee het gestelde is aangetoond. ¨

    Definitie
    Voor de punten Pi = xi : yi : zi (i = 1,2) definiëren we de sporen Pa, Pb, Pc met
    Pa = 0 : y1y2 : z1z2
    Pb = x1x2 : 0 : z1z2
    Pc = x1x2 : y1y2 : 0

    Op basis van Stelling 1 gaan nu de cevianen APa, BPb, CPc door hetzelfde punt P, zodat we kunnen vastleggen:

    Definitie
    Onder het (barycentrisch) product P = P1 Ä  P2 met Pi = xi : yi : zi (i = 1,2) verstaan we het punt
    P = x1x2 : y1y2 : z1z2.
    Daarbij gebruiken we een vaste referentiedriehoek.
    .
    image134 We kunnen het punt P, uitgaande van P1 en P2 met de sporen daarvan op twee zijden, construeren door gebruik te maken van Hulpstelling 2.

    Klik hier Applet voor een CabriJavapplet voor deze constructie.

    3. Isotomisch geconjugeerde

     terug

    Image135           Image136

    Definitie
    De cevianen van de spiegelbeelden van de sporen van een punt P in de middens van de zijden zijn concurrent in een punt Q. Dit punt Q heet de isotomisch geconjugeerde van P.
    De isotomisch geconjugeerde van P geven we, in dit verband, vaak aan met P-1.
    .
    Stelling 3
    Is P = x : y : z, met P niet op de zijden van de referentiedriehoek, dan is P-1 = 1/x : 1/y : 1/z.

    Bewijs:


    Voor Pa geldt: Pa = 0 : y : z, zodat BPa = az / (y + z) en CPa = ay / (y + z).
    Nu is:
    BQa = a – BPa = ay / (y + z)
    CQa = a – BPa = a – ay / (y + z) = az / (y + z)
    Dus Qa = 0 : z : y = 0 : 1/y : 1/z
    Waaruit volgt dat Q = P-1 = 1/x : 1/y : 1/z. ¨

    Opmerking
    Zie verder ook de pagina "Isotomische verwantschap"
    [einde Opmerking]

    4. Isogonaal geconjugeerde

     terug
    Definitie
    De spiegelbeelden van de cevianen van een punt P in de bissectrices van de referentiedriehoek zijn concurrent in een punt Q. Dit punt Q heet de isogonaal geconjugeerde van P.
    De isogonaal geconjugeerde van P geven we, in dit verband, vaak aan met P*.
    .
    Stelling 4
    Is P = x : y : z, met P niet op de zijden van de referentiedriehoek, dan is de isogonaal geconjugeerde van P het punt
    P* = a2/x : b2/y : c2z.

    Bewijs:


    Voor Pa hebben we Pa = 0 : y : z, waaruit volgt dat BPa : CPa = z : y
    Image137
    Met andere woorden Q = P* = a2/x : b2/y : c2/z ¨

    Gevolgen

    Stelling 5
    [1] De isogonaal geconjugeerde van Z = 1 : 1 : 1 is het Lemoine-punt van de driehoek: K = a2 : b2 : c2.:
    [2] Voor ieder punt P geldt P Ä P* = K.

    Bewijs:


    [1] Zie de paragraaf Symmediaan-punt.
    [2] Zie paragraaf 2. Vermenigvuldiging. ¨

    Klik hier Applet voor een CabriJavapplet bij Stelling 5.

    Stelling 6
    Voor het incentrum I van een driehoek geldt: I2 = I Ä I = K.

    Bewijs:


    I = a : b : c, zodat I2 = a2 : b2 : c2. ¨

    Opmerking
    Zie ook de pagina "Isogonale verwantschap"
    [einde Opmerking]

    5. Vierkantswortelpunt

     terug
    Hulpstelling 7
    Zij X een punt op het lijnstuk BC van driehoek ABC. De loodlijn in X op BC snijdt de cirkel met middellijn BC in X". De bissectrice van hoek BX"C snijdt BC in X'.
    Dan is X' Ä X' = X.

    Bewijs:
    Image138 Volgens de bissectricestelling is BX' : CX' = BX" : CX".
    Zo dat
       Image139
    Is nu X = 0 : b : c, dan is X = 0 : Ö b : Ö c, waaruit het gestelde volgt.¨

    Opmerking
    Op basis van Hulpstelling 7 kan voor een punt P binnen de referentiedriehoek het punt Q worden geconstrueerd met P2 = Q.
    Q is dan het "vierkantswortelpunt" van P (zie Voorbeeld).
    [einde Opmerking]

    Klik hier Applet voor een CabriJavapplet voor de constructie van het vierkantswortelpunt.

    Voorbeeld
    Te construeren:
    het punt P binnen een driehoek waarvoor de afstanden tot de zijden evenredig zijn met de vierkantswortels van de lengten van die zijden.

    Image140

    Als normaalcoördinaten van P hebben we nu, op basis de voorwaarde waaraan P moet voldoen:
    Pnorm = Ö a : Ö b : Ö c.
    De barycentrische coördinaten van P zijn dan Pbary = aÖ a : bÖ b : cÖ c
    P is dus het vierkantswortelpunt van het punt Q = a3 : b3 : c3.
    Maar voor Q geldt – en dat is onmiddellijk duidelijk –, dat Q = I Ä K.
    Waarmee de constructie kan worden uitgevoerd.

    Opmerking
    Het geconstrueerde punt P heet het vierkantswortelpunt van driehoek ABC.
    In [Kimberling] wordt het dit punt aangegeven met X365.
    [einde Opmerking]
    [einde Voorbeeld]

    6. Mittenpunkt terug
    Het zogenoemde Mittenpunkt (Mt; Kimberling: X9) van een driehoek ABC wordt gedefinieerd als het gemeenschappelijk punt van de verbindingslijnen van de uitcentra Ui van die driehoek met het midden Oi van de bijbehorende zijde van de driehoek.

    Opmerking
    Zie ook de pagina "Uitcirkels"
    [einde Opmerking

    Image141 We weten Ibary = a : b : c, zodat Ua = -a : b : c.
    Voor de vergelijking van de lijn UaOa die gaat door de punten Ua en Oa = 0 : 1 : 1 vinden we (na enig rekenwerk):
    UaOa: (b-c)x + ay – az =0
    Zo ook is de vergelijking van UbOb:
    UbOb: bx + (a-c)y – bz =0
    Voor het snijpunt Mt van deze lijnen vinden we dan
    Mt = a(-a+b+c) : b(a-b+c) : c(a+b-c)
    of ook
    Mt = a(s-a) : b(s-b) : c(s-c)
    Eenvoudig is na te gaan, dat dit punt ook op de lijn UcOc met vergelijking
    cx – cy + (a-b)z =0
    ligt.

    Gevolg
    Uit het bovenstaande volgt direct dat de normaalcoördinaten van het Mittenpunkt worden gegeven door:
    Mt norm = s-a : s-b : s-c

    We hebben gevonden dat Mt bary = a(s-a) : b(s-b) : c(s-c)
    We zien hieruit, dat Mt = I Ä Na, waarin Na het Nagel-punt is van de driehoek.
    Nu is
       Image142
    zodat
       Image143
    waaruit volgt, dat het Mt collineair is met het incentrum I (Kimberling: X1) en het Lemoine-punt K (Kimberling: X6). ¨

    Hulpstelling 8
    Image144

    Bewijs:


    a = 2s – b – c = (s – b) + (s – c)
    Het linkerlid van de uitdrukking is dus gelijk aan:
    (s – a)(s – b) + (s – a)(s – c) + (s – b)(s – c)
    En dit is weer gelijk aan het rechter lid van de uitdrukking. ¨

    Gevolg
    Image148 Schrijven we Image145, dan hebben we
    Image146, etc.
    Zodat
       Image147
     
    We zien hieruit, dat het Mittenpunkt Mt ook collineair is met het zwaartepunt Z (Kimberling: X2) en het Gergonne-punt Ge (Kimberling: X7). ¨

    Klik hier Applet voor een CabriJavapplet als illustratie.

    [einde Gevolg]

    7. Referenties

     terug
    [1] O. BOTTEMA: Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde, Epsilon (Utrecht, 1997)
    [2]      CLARK KIMBERLING: Triangle Centers and Central Triangles, Utilitas Mathematical Publishing Inc. (Winnipeg, Canada, 1998)
    [3] CLARK KIMBERLING: Encyclopedia of Triangle Centers - ETC (website).
    [4] PAUL YIU: The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry, in: International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 31 (2000) 569-578

    8. Download terug
    De in de CabriJavapplets gebruikte figuren kunnen in éen bestand via deze website worden gedownload.
    Klik hier om het downloaden te starten (ZIP-bestand; ca. 4kB).

    begin pagina
    [barycoord.htm] laatste wijziging op: 07-aug-02