Isotomische verwantschap bij een driehoek

Isotomische verwantschap bij een driehoek, ellipsen van Steiner

Overzicht

Isotomische verwantschap
Ellipsen van Steiner
Download

1. Isotomische verwantschap

Definitie
Zijn P en P' twee punten op de zijde BC (eventueel op de verlengden ervan) van driehoek ABC, dan noemt men de lijnen AP en AP' isotomisch verwant, indien BP + CP' = 0 (rekening houdend met de richting van de lijnstukken).

N.b.
De punten P en P' heten ook wel isotomische punten. P is het isomtomisch verwante punt van P', en omgekeerd.

Gevolg
De zwaartelijnen van een driehoek zijn isotomisch verwant met zichzelf.

Stelling 1
Zijn drie lijnen door opvolgend A, B, C (hoekpunten van een driehoek) concurrent, dan zijn de isotomisch verwanten van die lijnen (tov. de driehoek) eveneens concurrent.

Bewijs:

Snijden de lijnen AP, BQ en CR elkaar in het punt S, dan geldt volgens de stelling van Ceva:

Vanwege de isotomie hebben we: AR' = - BR, BR' = - AR, …, zodat uit deze betrekking volgt:

Volgens de (omgekeerde) stelling van Ceva zijn de lijnen AP', BQ' en CR' nu concurrent. ¨

Opmerking

De punten S en S' heten eveneens isotomisch verwant tov. driehoek ABC.
Klik hier

voor een CabriJavapplet waarmee "punt-isotomie" tov. een driehoek kan worden bekeken.
Klik hier

voor een CabriJavapplet voor de isotomisch verwante van de omcirkel.
[einde Opmerking]

Gevolg
Het zwaartepunt van een driehoek is isotomisch verwant met zichzelf.

Stelling 2
De hoekpunten van de driehoek gevormd door de lijnen door de hoekpunten die evenwijdig zijn met de overstaande zijde, zijn isotomisch verwant met zichzelf.

Bewijs:

Zij S het hoekpunt gevormd door de lijnen evenwijdig met AB en AC. En zij T het met S verwante punt. Nu is As = At (op BC; immers As is het midden van BC).
BS snijdt AC in Bs. Bs is dus het oneigenlijk punt van AC en BS (= Bs_¥; in nevenstaande figuur aangegeven met Bs»). Het punt Bt_¥ valt daarmee samen. De lijn BBt_¥ snijdt de lijn AAt in het punt T, dat dus samenvalt met S. ¨

Klik hier voor een CabriJavapplet bij Stelling 2.

Stelling 3
Snijdt een transversaal de zijden van driehoek ABC in de punten P, Q, R dan zijn de isotomisch verwante punten P', Q', R' (tov. de driehoek ABC) collineair.

Bewijs:

Volgens de stelling van Menelaos is nu:

Voor de isotomisch verwante punten P', Q', R' van P, Q, R geldt nu:
PB = - P'C, PC = -P'B, …, zodat

waaruit weer volgens de omgekeerde stelling van Menelaos volgt dat P', Q, R' collineair zijn. ¨

Stelling 4
Het Gergonne-punt en het Nagel-punt van een driehoek zijn isotomisch verwant.

Zie ook de pagina "Barycentrische coördinaten"

Bewijs:

G is het Gergonne-punt van driehoek ABC; N is het Nagel-punt.
Oa is het midden van BC. De punten Ia, Ib, Ic zijn de raakpunten van de incirkel met de zijden; de punten Pa, Pb, Pc zijn de raakpunten van de uitcirkels met de zijden.
Uba en Uca zijn de andere raakpunten op de zijde BC.
We dienen nu aan te tonen, dat O_aI_a = O_aP_a.

Volgens een bekende eigenschap van de raaklijnstukken aan de incirkel en aan de uitcirkels is nu:
BI_a = CP_a = s – b, waaruit het gestelde volgt. ¨

Stelling 5
Twee punten die isogonaal verwant zijn tov. een gelijkzijdige driehoek, zijn isotomisch verwant tov. die driehoek (en omgekeerd).

Zie ook de pagina "Barycentrische coördinaten"

Bewijs:

Zijn S en T twee isogonaal verwante punten; dwz. dat de verbindingslijnen van die punten met een hoekpunt (bijvoorbeeld het punt A) elkaars beeld zijn bij een spiegeling in de bissectrice van de hoek.
In de figuur is dus AAt het spiegelbeeld van AAs in AA' (die de middelloodlijn is van BC).
Hieruit volgt eenvoudig, dat A'As = A'At. ¨

2. Ellipsen van Steiner
Er is een ellips die door de middens van de zijden van een driehoek gaat en in die punten aan de zijden van die driehoek raakt (ingeschreven ellips).
Immers, een ellips is bepaald door vijf elementen. We kunnen daarvoor drie punten en twee raaklijnen gebruiken. We kiezen twee middens van de zijden en de zijden zelf, en het midden van de derde zijde.
Volgens de stelling van Brianchon is dan de derde zijde eveneens raaklijn.

Deze ingeschreven ellips heet de (eerste) Steiner-ellips van de driehoek; het middelpunt van de ellips is het zwaartepunt Z van de driehoek.

Uit deze ellips kunnen we een tweede laten ontstaan door vermenigvuldiging met factor –2 tov. het punt Z.
Deze ellips (een omgeschrevn ellips) is de (tweede) Steiner-ellips van de driehoek.
De hoekpunten van de driehoek liggen op de ellips en de raaklijnen in die hoekpunten zijn evenwijdig met de overstaande zijden.

Voor die tweede Steiner-ellips geldt nu:

Stelling 6
De isotomisch verwante rechten van de verbindingsrechten van de punten van de tweede Steiner-ellips met de hoekpunten van de driehoek zijn evenwijdig.

Bewijs:

In nevenstaande figuur willen we nu aantonen, dat de lijnen A1Q1, A2Q2, A3Q3 evenwijdig zijn.
De punten Q1, Q2, Q3 zijn de isotomisch verwanten van de punten P1, P2, P3.
O1, O2, O3 zijn de middens van de zijden van driehoek ABC.

Klik hier voor een CabriJavapplet bij nevenstaande figuur.

We geven het bewijs van de stelling met behulp van een affiene afbeelding.
Een affiene afbeelding is een afbeelding waarbij elk 3-tal collineaire punten wordt afgebeeld op 3 collineaire punten (zie de pagina "Affiene afbeeldingen").
We gebruiken in dit geval een affiene afbeelding die wordt vastgelegd door een puntsgewijs invariante lijn (de affiniteitsas), en het beeld van één punt.
Het affiene beeld van een cirkel is dan een ellips. Verhoudingen tussen lengtes van lijnstukken en hun beeldlijnstukken zijn invariant.

We gaan nu uit van een gelijkzijdige driehoek ABC.
We kiezen een affiniteitsas m en bepalen de afbeelding verder met behulp van het punt A1, dat het beeld is van A.

Volgens Stelling 5 zijn punten die isotomisch verwant (tov. driehoek ABC) zijn nu ook isogonaal verwant (tov. driehoek ABC).

Het beeld van de omcirkel bij een isogonale afbeelding is de oneigenlijke rechte (zie Stelling 3c op de pagina "Isogonale verwantschap").
Het isotome "beeld" van het punt Xd (van de omcirkel van driehoek ABC) wordt dus bepaald door de evenwijdige lijnen BBx' en CCx'.

X is het affiene beeld van Xd.
X ligt op de tweede Steiner-ellips van driehoek A1A2A3, immers de omcirkel van driehoek ABC kan in dit geval (gelijkzijdigheid) worden verkregen door vermenigvuldiging met -2 uit de incirkel van ABC (centrum Zd).

De affiene beelden van BBx' en CCx' zijn nu A2Q2 en A3Q3.
Deze laatste lijnen zijn dus eveneens evenwijdig. ¨

Klik hier voor een CabriJavapplet bij de laatste figuur.

3. Download

De figuren gebruikt in de CabriJavapplets kunnen in een bestand via deze websiet worden gedownload. In het bestand zijn ook enkele andere figuren betrekking hebbend op deze pagina opgenomen.
Klik hier om het downloaden te starten (ZIP-bestand; ca. 10kB).

[isotom.htm] laatste wijziging op: 11-04-05