Cel van Peaucellier

Inleiding | Bewijs | Rechtlijnige beweging | Referenties ][ Inversie | DK & Meetkunde

1. Inleiding
Een nog op te lossen probleem aan het einde van de 19e eeuw was een mechanisme waarmee de inverse van een gegeven figuur kon worden getekend.
In 1864 slaagde een Franse legerofficier, A. Peaucellier (1832-1913), erin een dergelijk apparaat te ontwikkelen.
Het bestaat uit 4 gelijke stangen die een ruit (rhombus) APBP' vormen en 2 gelijke (langere) stangen die verbonden zijn aan de beide overstaande hoekpunten A en B en aan een vast draaipunt O (zie figuur 1).

figuur 1

Als een tekenpen wordt geplaatst in het punt P' en het punt P een kromme lijn K volgt, dan tekent de pen de inverse van K.

Bijzonder in dit geval is, dat indien een 7e stang wordt gebruikt om het punt P op een cirkel door het punt O te houden, de meetkundige plaats van P' een rechte lijn is.
Hiermee is het belangrijke mechanische probleem opgelost om een cirkelbeweging om te zetten in een rechtlijnige beweging.
Een dergelijk mechanisme wordt onder meer gebruikt in (mechanische) naaimachines.

figuur 2

In figuur 2 is met behulp van een in Cabri Geometry II ontwikkelde Peaucellier-cel de inverse K' getekend van de ellips K.

Klik hier voor een CabriJavapplet van deze constructie voor de inverse van een cirkel.
Klik hier voor een CanriJavapplet van deze constructie voor de inverse van een ellips.

2. Bewijs
Zie figuur 3. Hierin is Q het centrum van de ruit.APBP'.

figuur 3

Nu is

OP x OP'	=	(OQ - PQ)(OQ + PQ) = OQ² - PQ²
	=	OQ² + AQ² - (AQ² + PQ²)
	=	OA² - PA²

En deze laatste uitdrukking is constant.
P en P' zijn dus elkaars inverse. ¨

3. Rechtlijnige beweging
Zoals reeds in de Inleiding is opgemerkt, kan via een 7e stang bereikt worden, dat het punt P een cirkel beschrijft die door het punt O gaat.
Zie hiervoor figuur 4.

figuur 4

Als P de cirkel doorloopt, beschrijft het punt P' een rechte lijn. Een en ander geheel volgens de theorie der inversie (Cirkels door het punt O).

Hiermee wordt dus een cirkelbeweging omgezet in een rechtlijnige.

Klik hier voor een CabriJavapplet van een dergelijke beweging.

4. Referenties
[1] Howard Eves, A Survey of Geometry, Allyn and Bacon, Inc., Boston - ISBN: 0-205-03226-5
In dit boek treffen we op de bladzijden 135-137 een kort historisch overzicht aan van de uitvinding van de Peaucellier-cel.
[2] Leo's Lego Designs - UvA, Amsterdam
[3] Analog device for converting circular motion into linear - Cut-The-Knot, US
[4] Peaucellier Inversor - CRC Encyclopedia, US
[5] Peaucellier's Linkage - The Geometry Centre, University of Minnisota , US

Zie ook "Sylvester's rotator".
Zie ook "Cardioïdes met stangenmechanisme".

[peaucel.htm] laatste wijziging op: 03-01-2003