Neuberg-cirkels

Overzicht ][ Brocard-punten | Brocard-hoek | Brocard-driehoeken | Meetkunde

Overzicht

Vooraf
Neuberg-cirkels (iso-Brocard-driehoeken)
Eigenschappen van de Neuberg-cirkels
Neuberg-driehoek

Download

1. Vooraf
De volgende onderwerpen worden op deze pagina bekend verondersteld:
- Brocard-punten en Brocard-hoek
- macht van een punt tov. een cirkel.

Stelling 1
Gelijkvormige driehoeken hebben dezelfde Brocard-hoek.

Bewijs:
Voor de grootte van de Brocard-hoek w van een driehoek ABC geldt (zie de pagina "Brocard-punten", Stelling 8):
cot w = cot A + cot B + cot C
Hieruit volgt onmiddellijk het gestelde. ¨

Maar ook niet-gelijkvormige driehoeken kunnen dezelfde Brocard-hoek hebben; zoals de "zwaartelijnendriehoek", dat is de driehoek waarvan de zijden gelijk zijn aan de lengtes van de zwaartelijnen van een gegeven driehoek.

Voorbeeld
Een driehoek en diens zwaartelijnendriehoek hebben dezelfde Brocard-hoek.

Bewijs:

Het punt B' is het snijpunt van de lijn door Ma (midden van BC) evenwijdig met BMb en de lijn door Mc evenwijdig met BC. Ma = A' en A = C'.
Nu hebben ABC en A'B'C' dezelfde Brocard-hoek.
We bewijzen dit als volgt.

Nu is (op zijn beurt) de zwaartelijnendriehoek A"B"C" van driehoek A'B'C' gelijkvormig met driehoek ABC.
Uit de constructie volgt, dat de gelijkvormigheidsfactor gelijk is aan 3/4.
De oppervlakte F' van A'B'C' is dus 3/4 van de oppervlakte F van driehoek ABC.

Volgens de zwaartelijnformule (zie paragraaf 2.1 op de pagina "Stelling van Stewart") is nu:
A'B' = m_a = ½Ö(2c² + 2b² - a²), enz.
waarin m_a, m_b, m_c de lengtes zijn de zijden van A'B'C'.
Voor de Brocard-hoek w ' van A'B'C' geldt (volgens Stelling 11 op de pagina "Punten van Brocard"), via invulling van bovenstaande formules voor m_a, m_b en m_c:

waaruit volgt dat w = w'. ¨

[einde Voorbeeld]

2. Neuberg-cirkels (iso-Brocard-driehoeken)
We behandelen hieronder een speciaal type niet-gelijkvormige driehoeken bij een gegeven driehoek die eveneens dezelfde Brocard-hoek als die driehoek hebben.
Dergelijke driehoeken noemen we iso-Brocard-driehoeken.

Allereerst een hulpstelling (die we gebruiken in het bewijs van Stelling 4).

Hulpstelling 2
De meetkundige plaats van de punten die gelijke macht hebben tov. een cirkel is een met die cirkel concentrische cirkel.

Bewijs:

Zij X een punt in het vlak van de cirkel met middelpunt O en straal R.
Zij d de afstand van X tot O.
Per definitie is dan m = m(X, O) = d² - R², zodat
d² = m + R²
waaruit volgt dat (voor iedere m) geldt dat d², en dus ook dat d, constant is.¨

Klik hier voor een CabriJavapplet bij deze stelling.

Stelling 3
Er bestaan 5 met ABC gelijkvormige driehoeken A_iBC (i = 1, ..., 5) die direct of indirect gelijkvormig zijn met ABC, en waarbij Ai aan dezelfde kant van BC ligt als A = A₀.
De punten A_i (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5) liggen op een cirkel, de (eerste) Neuberg-cirkel van BC.
(naar Joseph J.B. Neuberg, 1840-1926, Luxemburg)

Bewijs:

A1 is het spiegelbeeld van A in de middellooddlijn van BC. Nu is inderdaad A1BC ~ ABC.
A2 is het snijpunt van de lijn door C die in C een hoek maakt met CB die gelijk is aan A.
Nu is A2BC ~ ABC (hh).
A3 is het snijpunt van de lijn door B die in C een hoek maakt met BC die gelijk is aan A.
Nu is A3BC ~ABC (hh).

A4 is het snijpunt van CA2 met BA3. A5 is het snijpunt van BA3 met CA.
Uit bovenstaande gelijkvormigheden volgt nu (bijvoorbeeld):
BAC = A, ABA5 = B - A, zodat BA5C = B
Zodat A5BC ~ ABC. We vinden dan ook: A4BC ~ ABC.
Andere combinaties van A, B en C zijn niet mogelijk.
Merk op dat de gehele figuur symmetrisch is in de middelloodlijn van BC.
Door de punten A, A2, A4 gaat een cirkel. Eenvoudig is in te zien, dat ook de andere punten (vanweg de symmetrie) op deze cirkel liggen. ¨

Opmerkingen
[1]
De genoemde driehoeken zijn dus iso-Brocard-driehoeken (volgens Stelling 1).
[2]
Van de zeshoek A0A2A4A1A3A5 gaan de zijden afwisselend door de vaste punten B en C.
[3]
De punten B en C zijn hoekpunten van een drietal gelijkbenige driehoeken.
[4]
De spiegelbeelden in BC van de punten A_i geven nog eens zes iso-Brocard-driehoeken bij driehoek ABC.
De cirkel door deze punten is de tweede Neuberg-cirkel bij BC.
Bij een driehoek bestaan dus 6 Neuberg-cirkels!
[einde Opmerkingen]

De punten A_i uit Stelling 3 zijn niet de enige punten die driehoeken vormen (met vaste punten B en C) met gelijke Brocard-hoek.
Er geldt namelijk:

Stelling 4
De eerste en tweede Neuberg-cirkels van BC vormen de meetkundige plaats van de punten A, waarvoor de driehoeken ABC dezelfde Brocard-hoek hebben.
(Opmerking: de punten B en C zijn dus vast).

Klik hier voor een CabriJavapplet die deze stelling illustreert.

Bewijs:

Zij driehoek ABC gegeven; de Brocard-hoek van ABC wordt hieronder weer aangegeven met w.
Zij P het snijpunt van AW+ met BC, waarbij W+ het 1e Brocard-punt is van ABC.
We bekijken nu de meetkundige plaats van de punten (aan dezelfde kant van BC als waar A ligt) waaruit BC wordt gezien onder een hoek w.
Dit is de cirkelboog van de cirkel met middelpunt Na (gelegen op de middelloodlijn van BC).
Zij A' het (van B verschillende) snijpunt van de lijn AB en deze cirkel.
Nu is BAP = w en ook BA'C = w.
De lijnen AP en A'C zijn dus evenwijdig.
Volgens Stelling 9b, pagina "Punten van Brocard", is nu BP / PC = c² / a².
Uit de evenwijdigheid van de lijnen volgt:
AB : AA' = BP : PC of AA' = AB · PC / BP = c · PC / BP
Zodat AA' · AB = c · c · (a² / c²) = a².
De macht van het punt A tov. cirkel Na is dus constant.
De meetkundige plaats van de punten A is dus een concentrische cirkel (zie Hulpstelling 2) met middelpunt Na. Die cirkel (de eerste Neuberg-cirkel bij BC) gaat dus door A.
De gespiegelde in BC van de eerste Neuberg-cirkel heeft dezelfde eigenschappen. ¨

Opmerking
Zie natuurlijk ook Stelling 3 waarin voor zes gelijkvormige driehoeken A_iBC is aangetoond dat ze iso-Brocard-driehoeken zijn bij BC.
[einde Opmerking]

3. Eigenschappen van de Neuberg-cirkels
Een gevolg van (vervolg op) Stelling 3 is de stelling:

Stelling 5
De van A verschillende snijpunten van de 1e Neuberg-cirkel bij BC met de zijden BA en CA van driehoek ABC liggen opvolgend op de raakcirkel in B aan BC door A en op de raakcirkel in CB in C door A.

Bewijs:
In driehoek A5BC is A5 = A. Dan is hoek BA5A = pi - A
A5 ligt dus op de cirkelboog waaronder AB gezien wordt onder een hoek van pi - A.
Deze boog is de complementaire boog van de boog waaronder A5 gezien wordt onder een hoek A.
De bedoelde cirkel is de cirkel (met middelpunt C1) die raakt in B aan BC en gaat door A (immers hoek BAC = A).
Analoog voor het punt A2. ¨

Opmerkingen
[1]
Deze stelling geeft een constructie van de Neuberg-cirkels die dus (min of meer) onafhankelijk is van de Brocard-hoek.
[2]
W+ ligt op cirkel C1 (zie Stelling 7, pagina "Brocard-punten").
[einde Opmerkingen]

Gevolg
De machten van B en C tov. de (eerste) Neuberg-cirkel zijn gelijk aan a².

Bewijs:
Zie de figuur bij Stelling 5.
Voor het punt B geldt: m(B, C2) = BC² = BA · BA2 = m(B, Na)
Voor het punt C geldt: m(C, C1) = CB² = CA5 · CA = m(C, Na) ¨

Stelling 6
Voor de straal n_a van de (eerste) Neuberg-cirkel door A (van driehoek ABC) geldt:

Bewijs:

m(B, N_a) = a² (de macht van B tov de Neuberg-cirkel; zie het Gevolg van Stelling 5).
Maar ook geldt (per definitie): m(B, N_a) = BN_a² - n_a²
Nu is in driehoek BN_aC:
BNaC = 2w (zie daarvoor het bewijs van Stelling 4; N_a is het middelpunt van de boog op BC met A' = w).
Zodat
BN_a = a / (2 sin w)
en dus
neubergf2b

waaruit het gestelde onmiddellijk volgt. ¨

We hebben nu ook:

Stelling 7
a³ / ON_a = b³ / ON_b = c³ / ON_c = 4F, waarbij F de oppervlakte is van ABC.

Bewijs:
In driehoek ON_aB is O = 180 - A. Dus B = 180 - w -180 + A = A - w.
Volgens de sinusregel in die driehoek is dan:
ONa / sin(A - w) = R / sin w, zodat
ONa = R^.sin(A - w) / sin w
De uitdrukking sin(A - w) / sin w is (volgens Stelling 9b, pagina "Brocard-punten") gelijk aan a²/bc, zodat
ONa = R · a² /bc
En aangezien R = abc/4F vinden we
ONa = a³ / 4F, waaruit het gestelde volgt. ¨

Gevolg
ONa · ONb · ONc = (a³b³c³) / (64F³) = R³

Tenslotte:

Stelling 8
De Neuberg-cirkel door A (bij BC) en de cirkels met middelpunten B en C en straal BC snijden elkaar loodrecht (het zijn orthogonaalcirkels).

Bewijs:

We hebben reeds gezien (in Stelling 6), dat m(B, N_a) = BN_a² - n_a²
Het Gevolg van Stelling 5 gaf: m(B, N_a) = a²
Zodat
a² = BN_a² - n_a² of a² + n_a² = BN_a²
waaruit volgens de Stelling van Pythagoras volgt dat BQ _|_ QN_a.
Dus zijn de cirkels B en N_a orthogonaalcirkels.
Analoog voor cirkel C en cirkel N_a. ¨

4. Neuberg-driehoek

Definitie
De Neuberg-driehoek van een driehoek wordt gevormd door de middelpunten van de eerste Neuberg-cirkels van die driehoek.

Stelling 9
Een driehoek en diens Neuberg-driehoek hebben hetzelfde zwaartepunt.

Bewijs:
Zie hiervoor de pagina "Bijzondere gelijkvormige driehoeken". ¨

Stelling 10
De lijnen AN_a, BN_b, CN_c zijn concurrent in het punt T, het Tarry-punt van driehoek ABC.

Bewijs:

[volgt] ¨

Opmerking
De raaklijnen in A, B, C aan de Neuberg-cirkels zijn dan concurrent in het Steiner-punt van driehoek ABC.
[einde Opmerking]

5. Download
De figuren die gebruikt zijn in de CabriJavapplets en enkele andere figuren van deze pagina kunnen via deze website in één bestand worden gedownload. De Cabri-macro NeubergCirkel.mac is ook in dit bestand opgenomen.
Klik hier om het downloaden te starten (ZIP-bestand, ca 9kB).

[neuberg.htm] laatste wijziging op: 27-12-04