Ellips-constructies met Cabri [2]

Constructie  ][  Kegelsneden  |  Macro's voor kegelsneden  |  Cabri

2. Constructie gebaseerd op lijnvermenigvuldiging van een cirkel

Zie figuur 2.

• Teken een cirkel met middelpunt O en straal gelijk aan a.
• De snijpunten met de x-as (een lijn door O) zijn A₁ en A₂.
• Teken ook de y-as (een lijn door O loodrecht op de lijn A₁A₂.
• De snijpunten van de cirkel zijn B₁ en B₂.
• Teken ook het lijnstuk A₁A₂.
• Kies een punt P op het lijnstuk A₁A₂ en een punt B op de y-as. We stellen OB gelijk aan b.

We willen nu op de loodlijn door P op de x-as die de cirkel snijdt in het punt Q, het punt X construeren waarbij PX = b/a PQ.
Nu is OB = b = b/a OB₁.
We kunnen het punt X dus vinden met behulp van de lijn B₁Q, die de x-as snijdt in het punt S, en de lijn SB, die de loodlijn in P snijdt in X.

figuur 2

Opmerking De cirkel met middellijn A1A2 heet de hoofdcirkel van de ellips. [einde Opmerking]

In dit geval moeten we wel aantonen, dat de verzameling van de punten X en X' (het spiegelbeeld van X in de x-as) een ellips is, als P het lijnstuk A₁A₂ doorloopt.
Op basis van vergelijking van de cirkel met middelpunt O en straal a geldt voor het punt Q:
Hierin zijn x_Q en y_Q de coördinaten van het punt Q.
Voor het punt X hebben we nu: zodat .
Substitutie hiervan in bovenstaande betrekking geeft dan:
   
Deling van beide leden van de vergelijking door a² (en "lopend" maken van de coördinaten) geeft dan de vergelijking van de ellips:
   .

Opmerking

De bovenstaande methode is bijzonder geschikt om meerdere punten van een ellips te construeren.
Op de pagina "Toegevoegde middellijnen" wordt eveneens van de lijnvermenigvuldiging gebruik gemaakt.
[einde Opmerking]

Klik hier voor een animatie bij deze constructie.

---

[ellips2.htm] laatste wijziging op: 28-12-2000