Afbeeldingen van het complexe (platte) vlak [3]

Overzicht  ][  Meetkunde

0. Overzicht - Eigenschappen van de Möbius-transformatie

Zie ook de pagina "Complexe getallen en meetkundige bewijzen"

1. Het uitgebreide Euclidische vlak, het punt z = ¥
2. Het beeld van een cirkel
3. Samenstelling van een M-afbeelding
4. Aantal dekpunten en de gevolgen daarvan
5. Dubbelverhouding
6. De eenheidscirkel
        6.1. Het binnengebied van een cirkel
        6.2. Het beeld van de eenheidscirkel
7. Hoektrouw

1. Het uitgebreide Euclidische vlak, het punt z = ¥
De Möbius-afbeelding (M-afbeelding, M-transformatie) f(z) = (az+b)/(cz+d) met ad-bc¹ 0 kunnen we ook gebruiken om het Euclidische vlak op zichzelf af te beelden.
Hiertoe denken we het vlak voorzien van een rechthoekig assenstelsel (waarvan de x-as met de reële en de y-as met de imaginaire as samenvalt) en identificeren het complexe getal z met het punt Z met coördinaten (z₁, z₂).
We zullen in hetgeen volgt deze beide opvattingen door elkaar gebruiken.
We breiden het Euclidische vlak verder uit, tot wat we noemen het uitgebreide Euclidische vlak met een punt z = ¥ dat wordt vastgelegd door de M-afbeelding f(z) = 1/z:
     f(O) = ¥
     f(¥) = O
O = (0,0) (overeenkomend met het getal z = 0) staat hier voor de oorsprong van het assenstelsel. We zullen aan het punt z = ¥ geen coördinaten toekennen.
Ten behoeve van de bewerkingen leggen we vast (definiëren we) voor ieder complex getal c (punt):
     c ± ¥ = ¥
     c . ¥ = ¥
     c / ¥ = 0
     c / 0 = ¥
De uitdrukkingen ¥ - ¥, ¥ / ¥ en 0 / 0 beschouwen we als niet-gedefinieerd.

2. Het beeld van een cirkel

Bewijs:
Een rechte lijn of een cirkel in het platte vlak kan worden voorgesteld door  | z - p | = k | z - q | waarbij k een reëel getal is.
Met andere woorden: we bekijken de verzameling van de punten z waarvoor de verhouding van de afstanden tot twee vaste punten p en q constant is.
Is k = 1, dan is die verzameling een rechte lijn, de middelloodlijn van het verbindingslijnstuk tussen p en q.
Is k <> 1, dan is die verzameling de Apollonius-cirkel bij de punten p en q.

Onderwerpen we nu de verzameling aan een M-transformatie Z = (az+b) / (cz+d) met inverse z = (-dZ+b )/ (cZ-a), dan vinden we

of

En dit is een vergelijking van de vorm | Z - p' | = k' | Z - q' |. Dus een rechte lijn of een cirkel. ¨

Gevolg
Zijn A en B inverse punten tov. van een cirkel C, dan zijn de M-beelden van A en B elkaars inverse tov. het M-beeld van C.
Immers p' en q' zijn de beelden van p en q onder dezelfde M-transformatie.

3. Samenstelling van een M-afbeelding
We bekijken de volgende herleiding:
   
We concluderen hieruit, dat iedere M-afbeelding F dus geschrijven kan worden als
   F = T_a/c · D · N · T_d/c
waarbij

De afbeelding N, inversie in de eenheidscirkel, gevolgd door spiegeling in de x-as wordt wel de complex-inverse afbeelding genoemd (zie hiervoor ook de pagina "Complex[2]").

Uit deze samenstelling volgt, eveneens, dat lijnen worden afgebeeld op lijnen of cirkels en dat cirkels worden afgebeeld op lijnen en cirkels (zie Stelling 1). De afbeelding N is namelijk de enige van de samenstellende afbeeldingen die van invloed is op de "vorm" van het beeld (zie ook de pagina "Inversie").

4. Het aantal dekpunten en de gevolgen daarvan

Bewijs:
Zij w een dekpunt, dan is w = (aw+b) / (cw+d).
Hieruit volgt dan
cw² + (d-a)w - b = 0
Heeft deze vergelijking 3 of meer oplossingen, dan moet het de identieke vergelijking zijn. Met andere woorden:
c = 0, d = a, b = 0.
Uit ad - bc <> 0 volgt in dit geval dat a en d beide ongelijk aan 0 zijn.
De afbeelding z' = (az+b) / (cz+d) gaat nu over in z' = az / d = z. ¨

Bewijs:
Zijn de bedoelde punten z_j en z_j' (j =  1,2,3).
Zij B de M-afbeelding B: z' = (z - z₂)(z₁ - z₃) / (z - z₁)(z₂ - z₃).
Nu geldt:
   B(z₁) = ¥
   B(z₂) = 0
   B(z₃) = 1
Zij C de M-afbeelding C: z' = (z - z₂')(z₁' - z₃') / (z - z₁')(z₂' - z₃')
Onder deze afbeelding geldt
   C(z₁') = ¥
   C(z₂') = 0
   C(z₃') = 1
We bekijken nu de afbeelding C^-1B. Ook dit is een M-afbeelding.
Nu geldt:
   C^-1B(z₁) = z₁'
   C^-1B(z₂) = z₂'
   C^-1B(z₃) = z₃'
Deze afbeelding is uniek. Immers zij A een M-afbeelding met dezelfde eigenschappen, dan is A^-1(C^-1B) een afbeelding met drie dekpunten.
Volgens Stelling 1 is dan A^-1(C^-1B) = I waarbij I de identieke afbeelding is.
Dus geldt C^-1B = A. ¨

5. Dubbelverhouding
Op dezelfde wijze als op de pagina "Volledige vierzijde en dubbelverhouding", maar nu iets anders geschreven, definiëren we de dubbelverhouding van vier punten z_j (met j = 1,2,3,4).

Een direct gevolg van deze definitie is de volgende stelling.

Bewijs:
Het bewijs kan worden geleverd door voor de punten z_j en z_j' = (az_j + b)/(cz_j + d) met j = 1,2,3,4 de beide dubbelverhoudingen uit te schrijven.
Directe uitwerking van (z₁',z₂';z₃',z₄') geeft dan het gewenste resultaat. ¨

Een belangrijke stelling is

Bewijs:
Zijn z_j (j = 1,2,3,4) de bedoelde vier punten.
[1] Stel de dubbelverhouding (z₁,z₂;z₃,z₄) = k waarbij k een reëel getal is.
We moeten nu aantonen, dat de vier punten op een cirkel of op een rechte lijn liggen.
Zij nu F de M-afbeelding die z₁, z₂, z₃ afbeeldt op de punten z₁', z₂', z₃'  van de reële as.
Zij verder F(z₄) = z₄'.
Stelling 4 zegt, dat (z₁,z₂;z₃,z₄) invariant is, zodat ook (z₁' - z₃')(z₂' - z₄') / (z₂' - z₃')(z₁' - z₄') = k.
Waaruit volgt
(z₂' - z₄') / (z₁' - z₄') = k (z₂' - z₃') / (z₁' - z₃')
Het rechter lid van deze vergelijking is reëel, immers z_j (j = 1,2,3) is reëel.
Lossen we nu de vergelijking op naar z₄', dan blijkt, dat z₄' = F(z₄) eveneens een reëel getal is.
De beelden z_j (j = 1,2,3,4) liggen dus alle op de reële as.
De originelen daarvan liggen dus op een cirkel of op een rechte lijn, namelijk op het beeld onder F^-1 van de as.
[2] Liggen nu de punten z_j (j = 1,2,3,4) op een cirkel of op een rechte lijn.
Er is nu een M-afbeelding G, die z₁, z₂, z₃ afbeeldt op z₁', z₂', z₃' van de reële as (volgens stelling 3).
Ook z₄' ligt op de reële as, immers G beeldt de cirkel of rechte lijn af op een rechte lijn.
De dubbelverhouding (z₁',z₂';z₃',z₄') is dus gelijk aan een reëel getal. Volgens stelling 4 is dus ook de deelverhouding (z₁,z₂;z₃,z₄) een reëel getal.¨

Opmerking
Van Stelling 5 wordt veelvuldig gebruik gemaakt bij het bewijzen van meetkundige eigenschappen met behulp van complexe getallen.
Zie daarvoor de pagina "Complexe getallen en meetkundige bewijzen".
[einde Opmerking]

6. De eenheidscirkel

6.1. Het binnengebied van een cirkel

Bewijs:
Uit de samenstelling van de algemene M-transformatie (zie paragraaf  3) blijkt dat alle deeltransformaties, met uitzondering van de inversie, het binnengebied van een cirkel afbeelden op het binnengebied van de beeldcirkel.
De inversie beeldt het binnengebied af op het binnengebied of op het buitengebied van de beeldcirkel; een en ander is afhankelijk van de ligging het centrum C van de inversie tov. de cirkel (het origineel):
a. centrum binnen het origineel: beeld van het binnengebied is het buitengebied van de beeldcirkel (zie figuur 3);
b. centrum buiten het origineel: beeld van het binnengebied is het binnengebied van de beeldcirkel (zie figuur 4).

6.2. Het beeld van de eenheidscirkel
We leiden hieronder af aan welke voorwaarden een M-transformatie moet voldoen om de eenheidscirkel (niet puntsgewijs) op zichzelf af te beelden, waarbij tevens het binnengebied (niet puntsgewijs) op zichzelf wordt afgebeeld.

Voor een punt z = (p, q) = p + qi op de eenheidscirkel geldt p² + q² = 1 of ook z . z_ = 1 (hierbij is z_ de geconjugeerde van z).
Voor het beeld Z van z bij de afbeelding Z = (az + b) / (cz + d) moet dus gelden Z . Z_ = 1.

Het beeld van Z . Z_ = 1 volgt uit:

Dit is dezelfde vergelijking als z . z_ - 1 = 0, indien

We hebben dus de volgende twee voorwaarden:

Uit [1] kunnen we afleiden, c = a/d_ ^. b_. Stellen we k = a/d_, dan is dus d = a_/k_.
Substitutie hiervan in [2] geeft dan

Dus is | k | = 1. In dit geval is 1/k_ = k
De vorm van de M-transformatie is dan dus
Dit kunnen we natuurlijk ook schrijven als
   
Deze afbeelding beeldt de eenheidscirkel op zichzelf af.
We moet vervolgens nog onderzoeken onder welke voorwaarde het binnegebied op zichzelf wordt afgebeeld.
Het is voldoende dit te onderzoek voor één punt van het binnengebied.
We kiezen z = 0.
Nu is Z = k · b/a_. Moet nu gelden dat |Z| < 1, dan hebben we |k|^.|b| / |a_| < 1. Wegens |k| = 1 moet gelden:
|b| < |a_|. En daar |a|=|a_| is de voorwaarde |b| < |a|.
Aan deze voorwaarde is (ondermeer) voldaan indien |a|² - |b|² = 1.

We kunnen nu eenvoudig afleiden:

Bewijs:
Uitgaande van Z = (az + b) / (b_z + a_) met |b| < |a| vinden we bij deling door a_ dat

Nu is |a/a_| = 1.
Stellen we K = a/a_ en m = -b/a, dan is dit te schrijven als Z = K(z - m) / (1 - m_z), waarbij |K|=1 en |m|<1. ¨

Opmerkingen
[1]
Het bijzondere van deze afbeelding is, dat z = m op z = 0 wordt afgebeeld.
[2]
Voor eenvoudige beschouwingen kunnen we K = 1 gebruiken.
[einde Opmerkingen]

7. Hoektrouw
Een belangrijke eigenschap van de M-afbeelding is dat de hoek tussen twee rechte lijnen gelijk is aan de hoek tussen de beelden van die rechte lijnen (bij M-afbeeldingen zijn die beelden dus in het algemeen cirkels; zie Opmerking hierna).
Een afbeelding die de grootte van de hoek tussen twee lijnen invariant laat noemt men een conforme afbeelding. Zo'n afbeelding heet ook wel hoektrouw.

We hebben dus:

Bewijs:
Een M-afbeelding is opgebouwd uit twee translaties, een draaivermenigvuldiging en een complex-inverse afbeelding (zie paragraaf 3).
Een translatie en een draaivermenigvuldiging zijn inderdaad conform (eigenschappen uit de Euclidische meetkunde).
De complex inverse afbeelding bestaat uit een inversie en een spiegeling.
Ook de spiegeling is hoektrouw.
De inversie is eveneens een conforme afbeelding. Zie de pagina "Inversie" voor het bewijs daarvan.
Uit de samenstelling van de M-afbeelding volgt dus, dat deze hoektrouw is. ¨

---

 

[complex3.htm] laatste wijziging op: 02-12-2008 (26-02-2002)