Figuur van Vecten

Overzicht  ][  Lemoine en Kiepert  |  Grebe's constructie  |  Meetkunde

Overzicht begin pagina

  1. Loodrechte stand en concurrentie (Stelling van Vecten)
       Stelling 1 / Stelling 2 / Stelling 3a / Stelling 3b
  2. Punt van Vecten
       Stelling 4a / Stelling 4b
  3. Tweede punt van Vecten

1. Loodrechte stand en concurrentie begin pagina

Stelling 1
Op de zijden van driehoek ABC zijn uitwendig vierkanten beschreven (zie figuur 1).
De lijnenparen (ABc , BAc ), (BCa , CBa ), (CAb , ACb ) staan loodrecht op elkaar.
(Stelling van Vecten, 1817)
.
figuur 1 vecten1 Bewijs:
We bekijken de rotatie met centrum A over een hoek van 90º (positief).
A wordt afgebeeld op A;
Ba wordt afgebeeld op B;
C wordt afgebeeld op Ca.
Uit de laatste twee regels volgt dan dat CBa wordt afgebeeld op CaB.
Dus staat CBa loodrecht op CaB.
Op dezelfde manier bewijzen we de beide andere eigenschappen. ¨

Zie in dit verband ook de pagina "Constructie van Grebe".
.
Gevolg
figuur 2 vecten2
Stelling 2 begin pagina
De verbindingslijnen van het vierde hoekpunt van het "ingevoegde" parallellogram (zie figuur 2) met het bijbehorende hoekpunt van de driehoek vallen samen met de hoogtelijnen van de driehoek.
Anders gezegd:
AA2, BB2 en CC2 zijn concurrent in H.

Bewijs:
Uit de constructie van de "ingevoegde" parallellogrammen volgt (oa.) dat AbB2BcC een parallelogram is.
Uit stelling 1 volgt dat ACb loodrecht AbC, zodat ook
ACb loodrecht B2Bc.
B2Bc is dus de hoogtelijn uit Bc van driehoek ACbBc.
Op dezelfde manier kan bewezen worden, dat CbC2 de hoogtelijn is uit Cb van die driehoek.
Hun snijpunt H1 is dus het hoogtepunt van driehoek ACbBc.
De lijn AA3 door H1 is hoogtelijn van driehoek ACbBc (en ook van driehoek ABC).

Tussenresultaat
We bewijzen nu, dat het snijpunt A1 van de lijnen BAc en CAb op de lijn AA3 ligt.
We bekijken daartoe de translatie T over de vector BcC.
We hebben:
   T(CbC2) = BAc
   T(B2Bc) = AbC
en
   T(AA3) valt langs AA3.
H1 is snijpunt van CbC2, B2Bc en AA3. Het beeld van H1 ligt dus op de beelden van deze drie lijnen. Dus:
   T(H1) = A1.
[einde Tussenresultaat; zie verder ook onderstaande Opmerking mbt. de Stelling van Pythagoras]

Zie nu verder figuur 3.

figuur 3 vecten3

(dit is een deel van figuur 2)

 We zullen bewijzen, dat AA2 loodrecht staat op BC.
Bekijken we nu de rotatie R met centrum A en hoek 90º (positief).
Nu is:
   R(Ba) = B
   R(Ca) = T
zodat
   R(BaCa) = BT
Het punt T ligt op het verlengde van CA.
Zij S het midden van BaCa. Het beeld U = R(S) is dus het midden van BT.
UA is middenparallel van driehoek BCT.
UA is evenwijdig met BC. Maar, AA2 staat loodrecht op UA, dus
AA2 staat loodrecht op BC.
AA2 is dus hoogtelijn uit A van driehoek ABC.

Op dezelfde manier bewijzen we, dat BB2 en CC2 hoogtelijnen zijn van driehoek ABC (zie figuur 2).
De lijnen AA2, BB2 en CC2 zijn dus concurrent in het punt H.  ¨

Opmerking

propI44-4 Het bovenstaande tussenresultaat voor een in A rechthoekige driehoek laat zien dat de hulplijnen in het bewijs van Euclides van de Stelling van Pythagoras (zie de figuur hiernaast) inderdaad concurrent zijn (hier in het punt A1).
Dit resultaat staat bekend als de Stelling van Heron.

[einde Opmerking]

Stelling 3a begin pagina
AbBa2 + BcCb2 + CaAc2 = 3 (AB2 + BC2 + CA2)
(zie figuur 4)
.
figuur 4 vecten4 Bewijs:
In driehoek ACbBc geldt:
   BcCb2 = BcA2 + CbA2 - 2 BcA . CbA cos BcACb
Verder is hoek(BcACb) = pi - hoek(ABC), zodat
   BcCb2 = AB2 + AC2 + 2 AB.AC cos A
In driehoek ABC hebben we
   BC2 = AB2 + AC2 - 2 AB.AC cos A,
zodat
   BcCb2 = 2 AB2 + 2 AC2 - BC2 ......(1)
Evenzo:
   AbBa2 = 2 BC2 + 2 AC2 - AB2 ......(2)
en
   AcCa2 = 2 AB2 + 2 BC2 - AC2 ......(3)
Optelling van (1), (2) en (3) geeft
   AbBa2 + BcCb2 + CaAc2 = 3 (AB2 + BC2 + CA2) ¨
Stelling 3b. begin pagina
De oppervlaktes van de drie "verbindingsdriehoeken" zijn gelijk.

Bewijs: zie figuur 4
Zij OX de oppervlakte van de "verbindingsdriehoek" bij het hoekpunt X van driehoek ABC (bijv. OA = oppervlakte van ACbBc).
Voor de driehoek bij A geldt OA=½bc . sinA
Voor die bij B en C geldt OB=½ac . sinB en OC=½ab . sinC
Zodat aOA/sinA = ½abc, bOB/sinB = ½abc, cOC/sinC = ½abc
Wegens a/sinA = b/sinB = c/sinC (sinusregel) vinden we dus
OA = OB = OC   ¨

2. Punt van Vecten begin pagina

Stelling 4a
De verbindingslijnen van de middelpunten van de vierkanten op de zijden met de tegenoverliggende hoekpunten zijn concurrent (dit punt heet het (eerste) punt van Vecten).

Bewijs: zie figuur 5

figuur 5 vecten5 We willen dus aantonen, dat AA1, BB1, CC1 concurrent zijn in het punt V.

Uit stelling 1 weten we:
AcC loodrecht op AbB.
Hun snijpunt A' ligt dus op de Thales-cirkel met middellijn AbC.
Het middelpunt van die Thales-cirkel is dus het punt B1.
De Thales-cirkel is de omcirkel van vierkant B1.
A' ligt op de omcirkel van vierkant B1.
Op dezelfde manier:
A' ligt op de omcirkel van vierkant C1.
Dus hoek AA'Bc = hoek AA'Cb = 90º.
Bc, A' en Cb zijn dus collineair.
Nu is verder:
hoek(AA'Ab) = ½bg(AAb) = 45º.
De lijnen BcCb en AA' zijn dus bissectrices van de hoeken tussen AcC en AbB.
A' en A1 liggen op de Thales-cirkel met middellijn BC.
Waaruit volgt dat BA'A1 = BCA1 (hoeken op gelijke bogen).
Hoek BA'A1 is dan gelijk aan 45º.

A'A1 is dus ook bissectrice van hoek BA'C. Dus de lijnen AA' en A'A1 liggen in elkaars verlengde.

In driehoek ABcCb is C1B1 middenparallel. Zodat C1B1 // BcCb.
De lijn AA1 staat loodrecht op BcCb en dus ook AA1 loodrecht op C1B1.
AA1 dus hoogtelijn van driehoek A1B1C1.
Analoog zijn ook BB1 en CC1 hoogtelijnen van die driehoek.
AA1, BB1, CC1 zijn dus concurrent in het hoogtepunt V (het punt van Vecten) van driehoek A1B1C1.  ¨

Opmerking
Het eerste punt van Vecten kan natuurlijk ook gevonden worden door op de zijden van driehoek ABC rechthoekige gelijkbenige driehoeken AC1B, BA1C, CB1A te construeren.
Stelling 4 kan dus ook geformuleerd worden als

Stelling 4b begin pagina
De verbindingslijnen van de toppen van die driehoeken met de overeenkomstige hoekpunten van de driehoek zijn dus concurrent.

Zie de pagina "Probleem van Lemoine en de Stelling van Kiepert".
Op deze pagina wordt het (eerste en het tweede) punt van Vecten behandeld in samenhang met de Kiepert-hyperbool van de driehoek.

Op de pagina "De stelling van Van Aubel" wordt in Stelling 3 een ander bewijs voor de concurrentie van de lijnen in het punt van Vecten gegeven.

[einde Opmerking]

3. Tweede punt van Vecten begin pagina
Ook indien de vierkanten binnenwaarts worden beschreven op de de zijden, gaan de bedoelde verbindingslijnen door één punt.
Dit punt wordt het Tweede punt van Vecten genoemd (het punt V in figuur 6).

figuur 6 vecten6 Het bewijs verloopt analoog aan dat van stelling 4.

begin pagina
[vecten.htm] laatste wijziging op: 27-12-04