Ellips-constructies met Cabri [8]

Ellipsograaf  |  Constructie  |  Bewijs  ][  Kegelsneden  |  Macro's voor kegelsneden  |  Cabri

vorige Vorige begin Begin

8. Ellipsograaf


Vermoedelijk op basis van de door Johan de Witt (1625-1672) gegeven (zie paragraaf 5) definitie is door Frans van Schooten de Jongere (1615-1660) een apparaat ontwikkeld waarmee een ellips kan worden getekend; dit apparaat staat bekend onder de naam "ellipsograaf van Van Schooten" (zie figuur 8a en figuur 8b).
figuur 8a ellips8a      figuur 8b ellips8b

Twee stangen zijn in het punt B scharnierend aan elkaar verbonden. In het punt E is een schrijfstift bevestigd.
Het eindpunt A van de ene stang is scharnierend bevestigd in de oorsprong. Het punt D van de andere stang kan alleen horizontaal worden bewogen langs een lat KL..
In het "Museo Universitario di Storia Naturale e della Strumentazione Scientifica" te Modena (ItaliŰ) bevindt zich ook een dergelijk apparaat (zie figuur 9).

figuur 9 ellips9

Constructie
We kunnen in Cabri een model van deze ellipsograaf maken.
In figuur 8a kan het punt D op KL precies de lengte van AB+BD afleggen.
De maximale lengte van KL is dus 4 . AB.

figuur 10 ellipsd10

De ellips wordt nu bepaald door de punten E en E’, als het punt D het lijnstuk KL doorloopt.
Nb.
Cabri tekent ook een lijnstuk door A loodrecht op de lijn KL.

Klik hier Animatie voor een animatie bij deze constructie.

Bewijs
Ook nu is een bewijs op zijn plaats.
Stel de co÷rdinaten van het punt D (op de lijn KL) zijn (2d,0).
Stel X ligt op BD, zodat DA=ka (zie figuur 11):

figuur 11 ellipsd11

Voor de co÷rdinaten van het punt B hebben we dan:

   ellipsf16

Hieruit volgt dan ellipsf17.

Voor het punt E volgt hieruit, vanwege de verhouding : 1 op het lijnstuk DB:

(8.1) ... ellipsf18waaruit dus volgt: ellipsf19.

Eliminatie van d uit deze laatste betrekkingen levert dan de vergelijking van de ellips:

   ellipsf20of ellipsf21.

Opmerkingen
[1]
Voor k = 1 (het punt E valt dan samen met B) gaat deze vergelijking in:
   ellipsf22
Dit is de vergelijking van de cirkel met middelpunt A en straal a.
[2]
Voor k = 2 is de betrekking niet gedefinieerd.
In dit geval geldt ellipsf23; zie betrekking (8.1).
De meetkundige plaats van de punten E is in dit geval dus de y-as.
[einde Opmerkingen]


begin pagina

vorige Vorige begin Begin

[ellips8.htm] laatste wijziging op: 08-06-2000