Hyperbolische meetkunde [4]: Lengte van lijnstukken

Pagina-overzicht ][ Complexe afbeeldingen | Meetkunde

Begin

0. Overzicht

Op zoek
Gevonden, definitie
Samenhang met de dubbelverhouding
Loodlijn en middelloodlijn
Gemeenschappelijke loodlijn
Hoogtelijnen en bissectrices van een d-driehoek
     6.1. Hoogtelijnen
     6.2. Bissectrices
     6.3. Stelling van Brianchon
Stelling van Pythagoras in de P-meetkunde

1. Op zoek
Naast enkele basiseigenschappen waaraan de definitie van "lengte van een lijnstuk" moet voldoen, moet door de functie d die een lijnstuk, gedefinieerd door een puntenpaar (A,B), afbeeldt op de verzameling van de niet-negatieve reële getallen, zeker gelden:
d(A, B) = d(F(A), F(b))
waarbij F een H-afbeelding is.

figuur 1

We kiezen nu F(z) = (z-a) / (1-a_z), met |a|<1.
Voor het punt A, vastgelegd door a = p₁ + q₁i,. hebben we dan: F(a) = 0, of anders geschreven F(A) = O.
Voor het punt B met b = p₂ + q₂i, vinden we F(b) = (b-a) / (1-a_b).
Gaan we uit van bovengenoemde eis, dan moet de functie d dus zeker voldoen aan:
d(A, B) = d(O, (b-a)/(1-a_b).
Het punt F(B) kunnen we door een rotatie afbeelden op het punt | (b-a) / (1-a_b) | van de reële as, zodat ook
d(A, B) = d(O, | (b-a) / (1-a_b) | = | (b-a) / (1-a_b) |
En deze laatste uitdrukking, | (b-a) / (1-a_b) |, is een niet-negatief reëel getal.
Een hiermee is dus een afbeelding gevonden van de verzameling puntenparen die een lijnstuk bepalen, op de verzameling niet-negatieve getallen (zie figuur 1)

2. Gevonden, definitie
In paragraaf 1 hebben we dus gevonden, dat de afstandsfunctie gebaseerd moet zijn op de invariantie van de uitdrukking | (b-a) / (1-a_b) |. Een dergelijke functie is de artanh (area tangens hyperbolicus), ook wel genoteerd als tanh^-1 of th^-1.
Zie de pagina "Hyperbolische functies"

Definitie 1
De afstand tussen twee d-punten A (z = z₁) en B (z = z₂) wordt vastgelegd via de functie d met
d(A, B) = 2 artanh( |(z₂-z₁) / (1-z₁_z₂)| )

Opmerkingen
[1] De factor 2 in de definitie van d(A, B) maakt het mogelijk de afstand tussen twee d-punten A en B in verband te brengen met de dubbelverhouding van de punten en de oneigenlijke punten van het lijnstuk AB (zie paragraaf 3).
[2] We kunnen bewijzen dat de op deze manier vastgelegde functie d voldoet aan alle eisen die aan een afstandsfunctie moeten worden gesteld.
[einde Opmerkingen]

We merken verder op, dat indien één van beide punten (bijvoorbeeld het punt A) met het centrum samenvalt, de afstand wordt gevonden met
d(O, B) = 2 artanh (| z₂ / 1|) = 2 artanh (|z₂|).
We kunnen daardoor een eenvoudiger (te onthouden) definitie geven:

Definitie 2
De afstand tussen het punt O en een d-punt A (z = a + bi) wordt vastgelegd via de functie d met
d(O, A) = 2 artanh (|z|) = 2 artanh (a² + b²)^½.

Opmerking
Het is immers mogelijk voor twee punten A en B een H-afbeelding te gebruiken die één van beide punten op het centrum afbeeldt.
[einde Opmerking]

3. Samenhang met de dubbelverhouding

Stelling 1

Bewijs:
Schrijven we D voor d(O, Z), dan hebben we dus
2 artanh |z| = D
|z| = tanh (½D) = sinh(½D) / cosh(½D)
zodat
hypmf41
of

Zodat

. ¨

figuur 2

We kunnen nu eenvoudig afleiden:

Stelling 2
d(O,Z) = ln|(O,Z;Q_o,P_o)|,
waarin P_o en Q_o de oneigenlijke punten zijn van het lijnstuk OZ en (O,Z;Q_o,P_o) de dubbelverhouding is tussen de punten.

Bewijs:
Zie figuur 2, waarin A', B', P_o', Q_o' de originelen zijn van A, B, P_o en Q_o.
We hebben een afbeelding gebruikt die A' afbeeldt op O.
Zij B = Z.
Op de middellijn hebben we nu (O,Z;Q_o,P_o) = (Q_oO /Q_oZ ) : (P_oO/P_oZ)
Nu is
(O,Z;Q_o,P_o) = (1 / (1 - |z|) ) : (1 / (1 + |z|) = (1 + |z|) / (1 - |z|).
Waaruit het gestelde, conform Stelling 1, volgt. ¨

Opmerking
Ook hieruit volgt nu dat we een zinvolle afstandsfunctie gebruiken. Immers, opnieuw wordt bevestigd dat de lengte van lijnstukken invariant is onder een H-afbeelding, omdat reeds eerder bewezen is, dat de dubbelverhouding van vier punten onder een Möbius-transformatie (en de H-afbeelding is er zo een) invariant is.
[einde Opmerking]

Voorbeeld
In de figuur hieronder hebben we de rechthoekige driehoek OAB, met A: z = ½ en B: z = ½ i.

Nu is volgens de definities
D(O, A) = 2artanh|½| = 1,09861
D(O, B) = 1,09861
D(A, B) =
   2artanh|(½ - ½ i)/(1 - ½ i_.½)| =
   2artanh|(½ - ½ i)/(1+¼ i)| = 2artanh|(2 - 2 i)/(4 + i)| =
   2artanh(8/17)^½ = 1,6807
We zien nu (zoals wel te verwachten was), dat AB² <> OA² + OB²
In de H-meetkunde geldt de stelling van Pythagoras dus niet.
Zie verder de paragraaf "Stelling van Pythagoras".
[einde Voorbeeld]

4. Loodlijn en middelloodlijn

Stelling 3
Door elk d-punt buiten (op) een d-lijn gaat precies een lijn die loodrecht staat op die d-lijn.

figuur 3a

figuur 3b

Bewijs:
Zie figuur 3a en figuur 3b.
Volgens de E-meetkunde moet de drager van een d-loodlijn loodrecht op twee cirkels staan: namelijk op de drager van het d-lijnstuk en op de horizon.
Stel het d-punt P ligt niet op een middellijn van de horizon.
Het middelpunt van de drager is dan het snijpunt van de Euclidische middelloodlijn van PP₁ (met P₁ is inverse van P tov. horizon) en de middelloodlijn van het lijnstuk PP₂ (met P₂ is het inverse punt is van P ten opzichte van de drager van AB).
Ligt P wel op een middellijn van de horizon, dan is die middellijn de loodlijn uit P op de d-lijn.¨

Definitie
De d-lijn door het midden van een d-lijnstuk die loodrecht op het d-lijnstuk staat, heet d-middelloodlijn van dat lijnstuk

We hebben nu, evenals in de E-meetkunde:

Stelling 4
De d-middelloodllijnen van de zijden van een d-driehoek zijn concurrent, tenzij ...

Klik hier voor een animatie bij Stelling 4

figuur 4

Bewijs:
We bewijzen allereerst, dat er precies één middelloodlijn is (zie figuur 4).
We kunnen het midden M van het d-lijnstuk AB met een H-afbeelding F afbeelden op het centrum. Hierdoor gaat de lijn AB over in een middellijn van de disk.
Op deze middellijn, A'B', is het punt O het midden van A'B'.
A'B' heeft (Euclidisch gezien) precies één middelloodlijn. Het origineel daarvan onder de afbeelding F is de middelloodlijn van AB.
De rest van het bewijs verloopt op dezelfde manier als in de E-meetkunde (zie figuur 5).
We kunnen door gebruik te maken van het congruentegeval ZHZ bewijzen, dat voor elk punt P van de middelloodlijn van AB geldt dat PA = PB.
Snijden de middelloodlijnen van AB en BC elkaar in het d-punt P (zie Opmerking), dan is PA = PB = PC, zodat PA = PC.
P ligt dan dus ook op de d-middelloodlijn van AC. ¨

figuur 5

Opmerking
In de stelling staat niet voor niets tenzij.
Als twee middelloodlijnen elkaar namelijk niet snijden in een d-punt, dan is er geen sprake van conucrrentie.
De loodlijnen behoren echter wel tot dezelfde bundel, dwz. ze sijn concurrent, parallel of ultra-parallel.
Zie eventueel ook de animatie bij deze stelling.
[einde Opmerking]

5. Gemeenschappelijke loodlijn
In de E-meetkunde hebben twee lijnen een gemeenschappelijke loodlijn dan en slechts dan als die lijnen evenwijdig zijn.
In de H-meetkunde ligt dat iets anders.

Definitie (P-meetkunde)
Zijn m₁ en m₂ twee d-lijnen met A₁ op m₁ en A₂ op m₂, dan heet de d-lijn A₁A₂ gemeenschappelijke loodlijn als A₁A₂ loodrecht staat op m₁ en loodrecht staat op m₂.

Stelling 5
Twee d-lijnen hebben een unieke gemeenschappelijke loodlijn dan en slechts dan als die lijnen ultra-parallel zijn.

Klik hier voor een animatie van Stelling 5.

Bewijs:

figuur 6a

figuur 6b

(A) Stel m₁ en m₂ hebben een gemeenschappelijke loodlijn (zie figuur 6a).
Er is een H-afbeelding F, die A₁ afbeeldt op O.
Nu is F(m₁) een middellijn van de disk. Ook de lijn F(A₁A₂) is een middellijn. Beide lijnen staan in O loodrecht op elkaar.
Het beeld F(m₂) van m₂ is een d-lijn die loodrecht staat op F(A₁A₂) in het punt F(A₂).
Zie verder figuur 6b.
Het middelpunt R van de drager van F(m₂) ligt buiten de disk, op het verlengde van O-F(A₂). De straal van deze drager is dus kleiner dan het lijnstuk RO, waardoor F(m₁) en F(m₂) elkaar niet sijden.
De lijnen m₁ en m₂ snijden elkaar dus evenmin. Ze zijn ultra-parallel.

figuur 7

(B) Stel de lijnen m₁ en m₂ zijn ultra-parallel (zie figuur 7).
We bekijken de E-lijnen A₁B₁ en A₂B₂ (de lijnen door de oneigenlijke punten van de d-lijnen m₁ en m₂.
Zij R het snijpunt van A₁B₁ en A₂B₂. RT is een raanlijn aan de horizon. De cirkel (R, RT) snijdt nu de horizon loodrecht. Het deel van deze cirkel dat op de disk ligt is dus een d-lijn.
De punten A₁ en B₁ zijn elkaars inverse tov de cirkel R, evenals de punten A₂ en B₂. De snijpunten met de d-lijnen m₁ en m₂ zijn opvolgende U en V.
De lijn UV wordt nu door deze inversie puntsgewijs op zichzelf afgebeeld.
Ook de lijn m₁ wordt op zichzelf afgebeeld, als ook de lijn m₂.
De hoeken bij U tussen UV en m₁ en bij V tussen UV en m₂ worden ook op zichzelf afgebeeld.. Ze zijn samen 180°. Dus elk is 90°.
UV is dus de gemeenschappelijke loodlijn van m₁ en m₂.

Zijn A₁B₁ en A₂B₂ evenwijdig, dan is er een middellijn van de disk die loodrecht op beide staat. Deze middelliijn is dan de gemeenschappelijke loodlijn.

figuur 8a

figuur 8b

(C) Stel er zijn twee gemeenchappelijke loodlijnen. Er zijn twee mogelijke posities (zie figuur 8a en figuur 8b).
In figuur 8a is de hoekensom van PQRS gelijk aan 360°, hetgeen in de P-meetkunde onmogelijk is.
In figuur 8b is de hoeken som van driehoek PQR groter dan 180°. En dat is eveneens onmogelijk in de P-meetkunde.
De gemeenschappelijke middelloodlijn is dus uniek. ¨

6. Hoogtelijnen en bissectrices van een d-driehoek
6.1. Hoogtelijnen

Stelling 6.1
De hoogtelijnen van een scherphoekige d-driehoek zijn concurrent.

.Klik hier

voor een animatie van stelling 6.1.

figuur
9a

Bewijs:
Zie figuur 9a.
We kunnen de driehoek zo afbeelden, dat het punt H (als snijpunt van de hoogtelijnen uit B en C, dat binnen de driehoek valt - dat is essentieel!) samenvalt met het centrum.
De d-lijnen gaan dan over in cirkels, terwijl de beide hoogtelijnen overgaan in middellijnen (van de horizon). Deze lijnen zijn de machtlijnen van twee cirkels. De derde machtlijn gaat dan ook door O. Deze machtlijn is het beeld van de derde hoogtelijn, die dan dus ook door H gaat.. ¨

Zie Opmerking!

Opmerking
In Stelling 6.1 staat niet voor niets scherphoekig!
Door een tegenvoorbeeld te geven is het duidelijk, dat een en ander voor een stomphoekige driehoek zeker niet hoeft te gelden (en dit dus in afwijking van wat wel geldt in de E-meetkunde).

figuur 9b

In figuur 9b is driehoek ABC stomphoekig in B (= O). De punten A en C zijn oneigenlijke punten.
We zien dat de hoogtelijnen uit A en C elkaar niet snijden.
Kiezen we nu punten A' en C' in een omgeving van A resp. C, dan behoeft er evenmin sprake te zijn van door één punt gaande hoogtelijnen van de driehoek.
[einde Opmerking]

6.2. Bissectrices

Stelling 6.2
In een d-driehoek zijn de bissectrices van de hoeken concurrent.

Klik hier voor een animatie van Stelling 6.2.

figuur 9c

Bewijs:
Zie figuur 9c.
In de figuur is de d-bissectrice van hoek B getekend. Het punt X is een willekeurig punt van deze bissectrice.De punten Xa en Xc zijn de voetpunten van X op BC en AB.
De driehoeken BXX_c en BXX_a zijn nu congruent (ZZR). De loodlijnstukken uit X hebben dus gelijke lengte.
We kunnen nu op zelfde manier als in de E-meetkunde bewijzen dat de bissectrices van de hoeken concurrent zijn.¨

Zie paragraaf 6.3 voor een bewijs van stelling 6.2 via de Stelling van Brianchon.

6.3. Stelling van Brianchon
We kunnen stelling 6.2 fraai bewijzen door gebruik te maken van de Stelling van Brianchon op de pagina "De stellingen van Pascal en Brianchon voor cirkels":

Stelling van Brianchon
Als een zeshoek een zeshoek (niet noodzakelijk convex) om een cirkel beschreven is, dan zijn de drie lijnen die de overstaande hoekpunten verbinden, concurrent.

We maken in het bewijs van Stelling 6.2 ook gebruik van de volgende

Hulpstelling (P-meetkunde)
Zij m een d-lijn en P een d-punt.
De d-lijnen door P d-parallel aan m maken gelijke hoeken met de d-loodlijn uit P op m.

Bewijs:

In de figuur hiernaast is m = A_oB_o en n = PS de loodlijn op m.
De driehoeken A_oSP en B_oSP zijn nu congruent (ZHH).
Dus hoek SPA_o = hoek SPB_o. ¨

Klik hier voor een animatie van deze hulpstelling.

Bewijs van stelling 6.2
We gaan uit van twee bissectrices (in B en C) van de d-driehoek ABC.
We passen nu een H-afbeelding toe, waarbij het snijpunt van die bissectrices wordt afgebeeld op het centrum van de disk (zie figuur 9d).

figuur 9d

Hierdoor gaan de beide bissectrices over in middellijnen door B' en C' van de disk.

Volgens de hulpstelling staat de bissectrice van hoek A' loodrecht op het d-lijnstuk dat de punten c₁' en b₁' (oneigenlijke punten van A'B' en A'C') verbindt. Dus gaat de bissectrice van hoek A' door de pool A_p van dat lijnstuk tov. de cirkel (A_p is het snijpunt van de raaklijnen in c₁' en b'₁ aan de cirkel).
De bissectrices van driehoek A'B'C' zijn dus de diagonalen van een zeshoek.
De zijden van die zeshoek zijn de Euclidische lijnstukken die bedoelde polen (zoals A_p) van driehoek A'B'C verbinden
Volgens de stelling van Brianchon zijn de diagonalen van die zeshoek concurrent.
Dit geldt dus ook voor de diagonalen van driehoek ABC. ¨

Klik hier voor een animatie van dit bewijs.

7. Stelling van Pythagoras
Met behulp van de afstandsdefinitie kunnen we de d-lengtes van de zijden van een d-driehoek berekenen.
We zullen zien dat er in de H-meetkunde ook een verband bestaat tussen de zijden van een rechthoekige driehoek, maar wel een ander verband dan in de E-meetkunde.
In het voorbeeld hierboven hebben we gezien, dat de Euclidische relatie c² = a² + b² voor de zijden van een rechthoekige driehoek in ieder geval niet geldt.

Stelling 7
In een rechthoekige d-driehoek ABC (met een rechte hoek in C) geldt voor de lengtes a, b, c van de zijden
ch(c) = ch(a) . ch(b).
Hierin is ch een andere schrijfwijze voor cosh (de cosinus hyperbolicus of hyperbolische cosinus).

Bewijs:
We kunnen uitgaan van een rechthoekige driehoek met hoekpunten O (z = 0), A (z = p) en B (z = q i), waarin OA = b, OB = a en AB = c (zie figuur 10).

figuur 10

Volgens de definities is
a = OB = 2artanh(q)
b = OA = 2artanh(p)
c = AB = 2artanh | (p-qi)/(1-qi_p) | = 2artanh( (p²+q²)/(1+p²q²) )^½

Nu geldt (volgens de definitie van de functies tanh en cosh):

hypm4f1
Stellen we nu x = artanh(t), dan hebben we t = tanh(x). Daardoor gaat deze formule over in:
     cosh( artanh(t) ) = (1 + t²) / (1 - t²)
We vinden nu
     cosh(a) = cosh(2 artanh(q)) = (1+q²)/(1-q²)
     cosh(b) = cosh(2 artanh(p)) = (1+p²)/(1-p²)
En
      hypm4f2 ¨

Opmerking
Op de pagina "Parallelhoek" worden nog enkele andere goniometrische eigenschappen afgeleid.
Zie eventueel ook de pagina "Hyperbolische functies".
[einde Opmerking]

Begin

[hypm4.htm] laatste wijziging op: 03-06-2000