Cabri-FAQ (53)

Antwoord | Download  ][  Alle vragen | Meetkunde | Cabri

Vorige Vorige    begin Begin     Volgende Volgende 

Vraag 53
Hoe teken je een exemplaar van een cirkelbundel?

Antwoord terug
De vragensteller verwijst naar de Opdrachten 3 en 4 van het Cabri-werkblad "Cirkelbundels".
De cirkelbundel wordt in die beide opdrachten bepaald door twee niet-snijdende (mijdende) cirkels (met middelpunten M en N).

We gaan er bij de beantwoording van uit dat de begrippen machtlijn en macht bekend zijn (zie anders: het Cabri-werkblad "Machtlijn van twee cirkels" en de webpagina "De macht van een punt tov. een cirkel".
Het antwoord bestaat uit drie delen:

I.    Middelpunt gegeven
II.   Straal gegeven
III.  Andere gevallen

I. Het middelpunt X van het gezochte bundelexemplaar is gegeven terug
Blijkens de theorie ligt het punt X in ieder geval op de as a van de bundel, de lijn MN (maar, bij mijdende cirkels, niet op de middellijn van de zogenoemde Poncelet-cirkel); zie figuur 1.
De punten P1 en P2 (beide gelegen op MN) zijn de Poncelet-punten van de bundel (M,N). De Poncelet-cirkel is de cirkel die het lijnstuk P1P2 als middellijn heeft.
Het middelpunt van de Poncelet-cirkel is het snijpunt P van de machtlijn m van de bundel met de as.
De Poncelet-cirkel heeft de eigenschap dat deze door alle exemplaren van de bundel (M,N) loodrecht gesneden wordt,, zodat het gezochte bundelexemplaar (X) de Poncelet-cirkel eveneens loodrecht snijdt.

De constructiestappen zijn dan, ervan uitgaande dat het punt X op een geschikte plaats op de as a ligt:

figuur 1
1.
Construeer de machtlijn m van de bundel (M,N).
faq53_1
2.
Bepaal het snijpunt P van m en a.
3.
Construeer het punt Q op (M) zo, dat MQP = 90.
4.
Teken de cirkel (P, PQ). Dit is de Poncelet-cirkel van (M,N).
5.
Construeer het punt R op (P) zo, dat PRX = 90. (*)
6.
Construeer de cirkel (X, XR). Dit is het gezochte bundelexemplaar.

(*) De macht van X bij de Poncelet-cirkel is gelijk aan XR2.

II. De lengte van de straal van het gezochte bundelexemplaar is gegeven terug
In dit geval moet het punt R zo op de Poncelet-cirkel gelegen zijn, dat de lengte van het raaklijnstuk in R aan (P), en uit het nog niet bekende punt X op de lijn a, gelijk is aan de lengte r van een gegeven lijnstuk.
Stel nu dat de lengte van de straal van de Poncelet-cirkel gelijk is aan p.
Dan is:
( i )... PR2 + RX2 = PX2, of p2 + r2 = PX2
Daarmee is de ligging van het punt X ten opzichte van het punt P bepaald: X ligt op een afstand (p2 + r2) op de lijn a.
Er zijn nu twee oplossingen van het probleem: de cirkels (X, r) en (X', r), waarbij X en X' symmetrisch liggen tov. het punt P.

De constructiestappen zijn in dit geval, uitgaande reeds van het getekend zijn van de Poncelet-cirkel van de bundel::

figuur 2
1.
Construeer, op basis van de identiteit ( i ) hierboven, een rechthoekige driehoek met rechthoekzijden p en r.
In die driehoek is de lengte van de hypothenusa (in figuur 2 is dat het lijnstuk PY) gelijk aan PX.
faq53_2
2.
Teken de cirkel (P, PY) die de lijn a snijdt in de punten X, X'.
3.
X en X' zijn nu de middelpunten van de bundelexemplaren met straal r.
De gezochte bundelexemplaren kunnen nu worden geconstrueerd.

III. Andere gevallen terug
Voor de constructie van een bundelexemplaar van een bundel die bepaald wordt door rakende of snijdende basiscirkels, wordt verwezen naar het eerder genoemde Cabri-werkblad "Cirkelbundels" (op deze website).

download Download terug
De hierboven gebruikte Cabri-figuren (alleen geschikt voor Cabri Plus, versie 1.4) kunnen via deze pagina in n bestand worden gedownload. De te gebruiken macro "machtlijn.mac" is in dat bestand opgenomen.
zipsmall Klik hier om het download-proces van bedoeld bestand te beginnen (ZIP-formaat, ca. 15 Kb); IE menu: rechtsklikken.

pdfsmall Het Cabri-werkblad "Cirkelbundels" is NIET MEER te downloaden.


Vorige Vorige    begin Begin     Volgende Volgende 

[p: faq53.htm] laatste wijziging op 19/01/18 (29-05-2009)