Liniaalmeetkunde

Inleiding | Andere pagina's | Referenties ][  Meetkunde


Inleiding terug

Een groot aantal constructies in de vlakke meetkunde kan worden uitgevoerd met passer en liniaal (zie Andere pagina's).

Jakob Steiner (1796-1863, Zwitserland) toonde in 1833 aan, dat die constructies ook kunnen worden uitgevoerd met liniaal alleen, indien in het vlak van tekening een vaste cirkel met middelpunt gegeven is.
We spreken dan wel van liniaalmeetkunde of Steiner-meetkunde.

Voor Steiner's bewijs mbt.de liniaalmeetkunde (en meer bijzonderheden van die meetkunde) wordt verwezen naar de Referenties (waarbij oa. een downloadbaar PDF-bestand).

We laten hieronder een van de daarin behandelde constructies zien.

Probleem
Gegeven een cirkel (K) met middelpunt K. Construeer met liniaal alleen een vierkant.

Oplossing:

lin1.gif (6018 bytes) We tekenen allereerst een middellijn AB van (K).
Volgens Constructie 1 (*) - een basisconstructie - kunnen we nu door een punt A' van (K) een lijn m construeren die evenwijdig is met AB. Iimmers we kennen het midden K van AB.
Bij de constructie van m zijn de punten T (willekeurig op AA'), S, T' (in deze volgorde) in nevenstaande tekening gebruikt.
m snijdt de cirkel voor de tweede keer in B'.
A'ABB' is dan een gelijkbenig trapezium. De opstaande zijden daarvan snijden elkaar in L.
De lijn LK snijdt de cirkel in de hoekpunte C en D van vierkant ADBC.

(*) Constructie 1 luidt:

Gegeven is een lijnstuk AB met midden M. Construeer door een gegeven punt D een lijn evenwijdig met de lijn AB, met liniaal alleen.
Constructiebeschrijving:
Teken de lijnen AD en BD.
Kies een punt (willekeurig) T op het verlengde van AD. Teken dan de lijn MT. Het snijpunt daarvan met BD is het punt S.
Teken AS en BT, die elkaar snijden in C.
De lijn CD is dan de gevraagde lijn.
lin2.gif (3621 bytes)

Andere pagina's op deze website terug
Meer over planimetrische constructies op deze website:

¤        Elementen van Euclides
¤ Trisectie
¤ Passermeetkunde
¤ Euclidische passer (Cabri)
¤ Driehoeksconstructies

Referenties terug

[1] H. DÖRRIE: 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Dover Publications (New York,1965)
[2] MARTIN KINDT: Lessen in Projectieve Meetkunde, Epsilon Uitgaven (Utrevht, 1996, 2e druk)
[3]      DICK KLINGENS: Liniaalconstructies (2004), PDF-bestand (voorlopige versie: ca. 380Kb)
[4] GEORGE E. MARTIN: Geometric Constructions, Springer (New York, 1998)
[5] JACOB STEINER: Die Geometrischen Constructionen ausgeführt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises, Dümmler (Berlin, 1833). Herausgegeben von A.J. von Oettingen, Wilhelm Engelmann (Berlin, 1895)
[6] S.C. VAN VEEN: Passermeetkunde, J. Noorduijn en Zoon, N.V. (Gorinchem, 1951)
[7] HK. DE VRIES: Historische Studiën, deel I, P. Noordhoff (Groningen, 1925) / Op  pp. 84-112 een uitvoerige behandeling van [5]
[8] I.M. YAGLOM: Geometric Transformations III, Random House (New York, 1973)  / Translated from the Russian by Abe Shenitzer

begin pagina
[p:linmeetk.htm] laatste wijziging op: 07-03-04