Cabri: Euclidische passer en  moderne passer

Overzicht  ][  Cabri-FAQ(41) | Elementen | Passermeetkunde

Zie de pagina CabriFAQ(41): "Kent Cabri het begrip 'Euclidische passer'?

Overzicht terug

  1. De passers
  2. Basisconstructies
       macro:E-Passer
       Constructie 1 / Constructie 2     cabrisignal / Constructie 3 / Constructie 4 cabrisignal
  3. Equivalentie
       Stelling cabrisignal

Download
Referenties

1. De passers terug
Euclides schrijft in zijn Elementen in Postulaat 3:

En [laat geëist zijn] dat met elk middelpunt en elke afstand (bedoeld is de straal vastgelegd als een lijnstuk; dk) een cirkel beschreven wordt.

En dat moet dan worden uitgelegd als:
   een cirkel kan getekend worden met een gegeven middelpunt gaande door een gegeven punt.
De oud-Griekse opvatting was dan, dat na het tekenen van de cirkel de benen van de passer weer inklappen.
Men spreekt in dit geval van een Euclidische passer (Eng. collapsible compasses).

Op de pagina "Passermeetkunde" hebben we reeds laten zien, dat constructies met de Euclidische passer en de moderne passer - de benen klappen bij dit type niet in - equivalent zijn.

We laten dat hieronder nogeens zien, maar dan via Cabri-constructies met gebruikmaking van Cabri-macro's.
We zullen dus een cirkel construeren met een gegeven lijnstuk als straal en een gegeven punt als middelpunt, waarbij we uitsluitend gebruik maken van de Euclidische passer en zonodig een (Euclidische) liniaal.

2. Basisconstructies terug
We geven hieronder enkele basisconstructies met behulp van de Euclidische passer (E-passer); de bewijzen van de constructies laten we achterwege.

  1. De middelloodlijn van een lijnstuk
  2. De loodlijn in/uit een punt op een lijn of lijnstuk
  3. De loodlijn in het eindpunt van een lijnstuk op dat lijnstuk
  4. De constructie van een rechthoek met gegeven zijden

Daarna zullen we de equivalentie laten zien tussen de Euclidische passer en de moderne passer.
Maar eerst definiëren we een Cabri-macro voor de Euclidische passer.

epasser0 macro:E-Passer terug
Bij de hierna volgende constructies zullen we geen direct gebruik maken van de in Cabri aanwezige functie Cirkel (omdat daarmee ook op een andere dan de gewenste manier cirkels getekend kunnen worden). De functie Passer (in het Constructie-menu) gebruiken we evenmin.
Bij de definitie van de macro gebruiken we de functie Cirkel alleen om de cirkel te tekenen.

Definitiestappen:
We gaan ervan uit, dat A het middelpunt is van de cirkel die door B gaat. De punten A en B zijn in ligging gegeven.
1. Cirkel(A, B)
2. Beginobjecten(A, B) -  de volgorde van de punten is hier belangrijk.
3. Eindobjecten(1) - gebruik dan de bestandsnaam 'E-Passer'.
Hiermee is de macro:E-passer vastgelegd. ¨

Constructie 1 terug
De middelloodlijn van een lijnstuk

Beschrijving:

epasser1 A en B zijn de eindpunten van het lijnstuk. Deze punten zijn dus in ligging gegeven.Het lijnstuk zelf is voor de constructie niet noodzakelijk.
1. E-Passer(A, B)
2. E-Passer(B, A)
3. Snijpunten(1, 2) - dit zijn de punten P en Q.
4. Lijn(P, Q) ¨
Constructie 2 terug
De loodlijn in/uit een punt op een lijn of lijnstuk

Beschrijving:

epasser2 De lijn of het lijnstuk wordt bepaald door de in ligging gegeven punten A en B. Het punt P waardoor de loodlijn op AB gconstrueerd moet worden, is eveneens in ligging gegeven.
Nb. P ligt niet recht boven A.
1. Lijn(A, B) = m
2. E-Passer(P,A) - dit geeft C als tweede snijpunt met m (de lijn van 1).
3. E-Passer(A, C)
4. E-Passer(C, A)
5. Snijpunten(3, 4) - dit zijn de punten Q en R.
6. Lijn(Q, R) - deze lijn gaat gaat door P.
epasser2b In de situatie hierboven ligt het punt P op AB.
Als P buiten AB ligt verloopt de constructie analoog. ¨

Klik hier >Animatie< voor een CabriJavapplet bij deze constructie.
x
Constructie 3 terug
De loodlijn in een eindpunt van een lijnstuk op dat lijnstuk

Beschrijving:

epasser4 Het lijnstuk is bepaald door de in ligging gegeven punten A en B. We zullen de loodlijn in A op AB construeren. Het lijnstuk zelf is voor de constructie niet noodzakelijk.
1. HalveLijn(A, B) - hierbij kan ook Lijn(A, B) worden gebruikt.
2. E-Passer(A, B) - deze cirkel heeft met AB een tweede snijpunt C.
3. E-Passer(C, B)
4. E-Passer(B, C)
5. Snijpunten(3, 4) - dit zijn de punten P en Q.
6. Lijn(P, Q) -  deze lijn gaat door het punt A. ¨

Op basis van Constructie 3 leggen we een macro vast die we gebruiken in Constructie 4.
macro:E-Loodlijn(EindpuntLijnstuk)
Definitiestappen:
1. Voer de constructie uit als in Constructie 3.
2. Beginobjecten(A, B)
3. Eindobjecten(de lijn PQ) - verberg vooraf de punten P en Q. ¨

x
Constructie 4 terug
Rechthoek met gegeven zijden

Klik hier >Animatie< voor een CabriJavapplet bij deze constructie.

Beschrijving:

epasser3 De lengtes van de zijden zijn AB en BC, waarbij AB niet loodrecht staat op BC.
We gaan uit van de in ligging gegeven punten A, B, C. We construeren de rechthoek BCDE, met BE = CD = AB.
1. E-Loodlijn(EindpuntLijnstuk)(B, C) - de volgorde B, C is belangrijk.
2. E-Loodlijn(EindpuntLijnstuk)(C, B)
3. E-Passer(B, A)
4. Snijpunten(3, 1) - de snijpunten zijn E em E'. Kies een van deze punten, bijvoorbeeld E.
5. E-Loodlijn(EindpuntLijnstuk)(E, B)
6. Snijpunt(5, 2) - dit geeft het punt D
En hiermee is de gewenste rechthoek BCDE gevonden. ¨

Opmerking
Het is nu mogelijk een cirkel te construeren met middelpunt C waarvan de straal gelijk is aan AB (zie de gestippelde cirkel in de figuur hierboven).
We zullen in de volgende paragraaf, Equivalentie, laten zien, dat we daarvoor niet specifiek een rechthoek nodig hebben.
Maar in principe is hiermee reeds het bewijs van de equivalentie van de constructies met een Euclidische passer en een moderne passer gegeven.
De volgende constructie maakt echter alleen gebruik van een Euclidische passer!
[einde Opmerking]

3. Equivalentie terug

Stelling 1
De constructie van een cirkel met een gegeven punt als middelpunt en een gegeven lijnstuk als straal is mogelijk met gebruikmaking van een Euclidische passer (E-passer).

Klik hier >Animatie< voor een CabriJavapplet bij deze stelling.

Bewijs:

epasser5 We geven hieronder een bewijs door middel van constructie. We gaan uit van een lijnstuk AB als straal en een punt C als middelpunt (de punten A, B, C zijn in ligging gegeven).
Beschrijving:
1. E-Passer(B, C)
2. E-Passer(C, B)
3. Snijpunten(1, 2) - dit zijn de punten P en Q.
4. E-Passer(P, A)
5. E-Passer(Q, A)
6. Snijpunten(4, 5) - dit zijn de punten A en R.
7. E-Passer(C, R)
Deze laatste cirkel is dan de gevraagde cirkel. Waarmee het gestelde is aangetoond. ¨

Opmerking
Uiteraard kan op Stelling 1 weer een Cabri-macro (macro:E-CirkelMR) worden gebaseerd waarmee de cirkel (C, AB) kan worden getekend.
Er zij ook opgemerkt dat de Cabri-functie Passer deze mogelijkheid eveneens biedt (zie de definitie van de macro:E-Passer).
[einde Opmerking]

 

Download terug
De hierboven genoemde macro's (geschikt voor Cabri II en Cabri II Plus) kunnen samen met de figuren die gebruikt zijn bij de CabriJavapplets, worden gedownload via deze website.
Klik hier om het downloadproces te starten (ZIP-bestand, ca. 10 kB).

Referenties terug

[1]    NICHOLAS D. KAZARINOFF: Ruler and the round, Dover Publications (Mineola, USA, reprint 2003)
[2] GEORGE E. MARTIN: Geometric Constructions, Springer (New York, 1998)

begin pagina
[epasser.htm] laatste wijziging op: 24-08-03