Driehoeksconstructie: a, b, dc

Overzicht  ][  Driehoeksconstructies | Meetkunde | Cabri

[ Terug naar de pagina Driehoekconstructies ]

Overzicht terug
   1. Twee synthetische constructies
   2. Een constructie via de stelling van Stewart

1. Twee synthetische constructies voor [ a, b, dc ] terug
We behandelen hier allereerst een tweetal andere constructies, anders dan die gegeven is op de pagina "Driehoeksconstructies".

abdc(1) Eerste constructie
Aannemend dat driehoek ABC reeds geconstrueerd is.
Daarin zijn dus gegeven BC = a, CA = b en CP = d (de lengte van de bissectrice van hoek C).
Vorm uit ABC het parallellogrma ADBC, met verder Q als snijpunt van CP en AD, en DR // CQ (R op AB).
Stel PQ = x.
Uit ADR ~ AQP volgt dan AD : AQ = DR : QP, of ook a : b = d : x
PQ is dus als vierde evenredige te construeren bij a, b, d.
Hiermee is AQC te construeren (ZZZ).
We vinden P op CQ en B als snijpunt van AP met de cirkel (C, a).
abdc(2) Tweede constructie
In de figuur is BD // CP. Noem BD = x.
Volgens de bissectricestelling is dan AP = k·b en BP = k·a
Dan is CP : DB = AP : AB = b : (b+a)
Dus d : x = b : (a+b), waarmee x te construeren is uit a, b en d.
Dus driehoek BDC is te construeren (ZZZ). Verleng dan DC met b (geeft A) en trek AB.
Klaar!
 
¤ Zie eventueel ook Vraag / Antwoord #14472 op WisFaq: "Re: Constructie driehoek" (20/21 september 2003)

2. [a, b, dc ] via de steling van Stewart terug
En vervolgens een constructie gebaseerd op de stelling van Stewart.
Volgens deze stelling geldt voor de bissectrice d van hoek C:
   d2 = ab - pq
Hierbij zijn p en q de delen waarin zijde c door de bissectrice uit C worden verdeeld (zie de figuur hierboven met BP = p en AP = q).
We hebben dan:
   p = c · a/(a + b), q = c · b/(a + b)
Hiermee vinden we dan:
   d2 = ab - abc2/(a + b)2
zodat we c kunnen uitdrukken in onder andere a en b. Met x = a + b vinden we:
   c2 = (ab - d2) · x2 / (ab)
of
   c2 = x2 - (d2x2) / (ab)
Stellen we vervolgens y = d · x /a en z = d · x / b, dan zijn y en z te construeren uit de gegevens.
Voor c2 vinden we dan
   c2 = x2 - yz
Stellen we t2 = yz, dan is ook het lijnstuk t te construeren.
En vervolgens, uit c2 = x2 - t2, via de stelling van Pythagoras ook het lijnstuk c.

[ Terug naar de pagina Driehoekconstructies ]

begin pagina
[abzc.htm] laatste wijiging op 03-11-03