Cabri-werkblad

Overzicht ][ Alle werkbladen | Meetkunde | Cabri

Op het onderstaande werkblad wordt gebruik gemaakt van CabriJavapplets

.
Indien dit werkblad voor de eerste keer geladen wordt, vraagt dat daardoor iets meer tijd dan bij andere werkbladen.
N.B. De browser dient over Java-mogelijkheden te beschikken.

Overzicht - Meetkundige plaatsen, een inleiding

Een verborgen tekening
Opdracht 0
Vijf voorbeelden
    Opdracht 1
    Opdracht 2
    Opdracht 3
    Opdracht 4
    Opdracht 5
Het begrip "meetkundige plaats"
Opdracht 6
Tot slot
Opdracht 7
Opdracht 8
Download

Opmerking
Zie eventueel ook het Cabri-werkblad "Meetkundige plaatsen", dat het gebruik van de functie "MeetkundigePlaats" van Cabri zelf behandelt.
[einde Opmerking]

1. Een verborgen tekening
Opdracht 0

In het tekenvenster hiernaast is een figuur verborgen.

Door het punt P te verplaatsen kan deze figuur zichtbaar worden gemaakt.
Het verplaatsen van een punt (dat heet ook wel slepen) doe je door dat punt aan te wijzen (Dit punt) en dan de linker muisknop ingedrukt te houden.

Als je in de buurt van een punt van de verborgen figuur komt, wordt dat punt blauw gekleurd (echter niet, als je het punt P te snel beweegt).

Aanwijzing
De verborgen figuur bestaat uit rechte lijnen.

¨Wat is de naam van de verborgen figuur?

Opmerkingen
[1]	Door twee keer in het tekenvenster te klikken, kan je hetgeen je getekend hebt, wissen.
[2]	Als je het punt P buiten het tekenvenster hebt geplaatst, dan kan je mogelijk het punt P terugvinden door de Control-knop tegelijk met de linker muisknop ingedrukt te houden. Je kan dan het tekenblad binnen het venster verplaatsen (de cursor heeft dan de vorm van een handje). In dit geval schuift de verborgen tekening ook mee. De reeds gevonden punten van de verborgen figuur kloppen dan niet meer. Lukt het niet, klik dan op de Refresh (Vernieuwen, Reload) knop van de browser.
[einde Opmerkingen]

We zullen de "techniek van de verborgen tekening" ook in de volgende paragrafen gebruiken.

2. Vijf voorbeelden
Opdracht 1
We zoeken ALLE punten die op 3 cm afstand liggen van een vast punt M.
In de figuur hieronder staat dat punt M al getekend.

Ook is een punt P getekend. Dat punt kun je met behulp van de muis slepen.

Probeer nu het punt P zo slepen, dat de afstand tussen P en M precies 3 cm wordt.

Als je eenmaal een punt gevonden hebt, dan zal het wel niet moeilijk zijn meer punten te vinden.
Probeer dan zoveel mogelijk punten te vinden.

¨ Hoe heet de lijn waarop de gevonden punten liggen? Geef een zo goed mogelijke beschrijving van de lijn.

Opdracht 2
We zoeken alle punten die op 2 cm afstand liggen van een vaste lijn m.
In de figuur hieronder staat die lijn m al getekend.

Je ziet ook weer het punt P.

Probeer nu het punt P zo slepen, dat de afstand tussen P en de lijn m precies 2 cm wordt.

Als je eenmaal een punt gevonden hebt, dan zal het wel niet moeilijk zijn meer punten te vinden.
Probeer dan zoveel mogelijk punten te vinden.

¨ Geef een beschrijving van hetgeen je gevonden hebt (heb je twee lijnen gevonden?).

Opdracht 3
In onderstaande figuur staan twee evenwijdige lijnen m en n.
We zoeken nu de alle punten die gelijke afstand hebben tot beide lijnen.

Gebruik ook nu weer het punt P om alle punten te vinden die deze eigenschap hebben.

¨ Geef een beschrijving van hetgeen je gevonden hebt.

Opdracht 4
In plaats van evenwijdige lijnen (als in Opdracht 3) nemen we nu twee snijdende lijnen.
Zoek weer ALLE punten die gelijke afstand hebben tot beide lijnen.

Je kan de punten weer vinden door het punt P te slepen.

¨ Geef een beschrijving van hetgeen je gevonden hebt (heb je ook nu twee lijnen gevonden?).

Opdracht 5
In de figuur hieronder gaan twee lijnen door het punt P; de ene lijn gaat ook door het punt A en de andere lijn gaat door het punt B.
We willen nu alle punten P vinden waarvoor de hoek APB gelijk is aan 90º.

Kijk goed naar de ligging van de lijnstukken PA en PB als je een punt van de verborgen figuur hebt gevonden.

¨ Geef een zo goed mogelijk beschrijving van de figuur.

3. Het begrip "meetkundige plaats"
In de opdrachten 1 tot en met 5 zijn telkens figuren gevonden die gebaseerd waren op een eigenschap van een punt waarvan de positie veranderd kon worden.

Opdracht 1:	de eigenschap van het punt P is, dat de afstand tot een vast punt M gelijk is aan 3 cm.
Opdracht 2:	de eigenschap van het punt P is, dat de afstand tot een vaste lijn m gelijk is aan 2 cm.

Figuren die gebaseerd zijn op zo'n eigenschap noemen we een meetkundige plaats.

We formuleren een en ander als volgt:

Opdracht 1:	de meetkundige plaats van de punten P die een afstand 3 (cm) hebben tot een vast punt M, is de cirkel met middelpunt M en straal 3.
Opdracht 2:	de meetkundige plaats van de punten P die een afstand 2 (cm) hebben tot een vaste lijn m, bestaat uit twee lijnen die evenwijdig zijn met m en elk op een afstand 2 liggen van m.

Opdracht 6
¨ Formuleer de resultaten van Opdracht 3, Opdracht 4 en Opdracht 5 ook met behulp van het begrip meetkundige plaats.

4. Tot slot
Uit het bovenstaande zou je wellicht de indruk kunnen krijgen, dat alleen rechte lijnen en cirkels als meetkundige plaats kunnen optreden.

Opdracht 7

In de hiernaast staande figuur is een andere kromme lijn verborgen.

Het is de meetkundige plaats van de punten P waarvoor geldt dat som van de afstanden tot twee vaste punten A en B gelijk is aan 5 cm.
Dus: PA + PB = 5.

Gebruik nu de getoonde meetwaarden om de meetkundige plaats te vinden.

De meetkundige plaats is een ellips.

¨ Verklaar waarom een ellips twee symmetrie-assen heeft.
¨ Welke lijnen zijn dat?

Opdracht 8

In de hiernaast staande figuur is ook een kromme lijn verborgen.
De eigenschap van het punt P is hierbij niet vermeld.
We vermelden alleen, dat de lijn PA de cirkel in het punt C en de gegeven rechte lijn m in het punt D snijdt.

Sleep het punt P om de verborgen kromme lijn te vinden.
Aanwijzing: Let daarbij op de (bij benadering aangegeven lengte van de) lijnstukken AP en CD.

De kromme lijn heet cissoïde.

¨	Vul de volgende regel zo goed mogelijk aan: Een cissoïde is de verzameling van de punten P, waarvoor geldt ... (Het gaat dus hier om het noemen van de eigenschap van het punt P.)
¨	Hoeveel punten hebben de cirkel en de cissoïde gemeenschappelijk?
¨	Teken als je een voldoend aantal punten van de cissoïde hebt gevonden, de gehele figuur over op je antwoordblad.

5. Download
De Cabri-figuren die in de CabriJavapplets zijn gebruikt, kunnen in één bestand via deze website worden gedownload.
In dit bestand is ook opgenomen "applets.htm". Hiermee kunnen bovenstaande CabriJavapplets lokaal worden uitgevoerd (zie daartoe bijgesloten bestand "lees_dit.txt").
Klik hier om het downloadproces te starten (ZIP-bestand, ca. 9Kb).

[mplinleid.htm] laatste wijziging op: 25-feb-02