Cabri werkblad
Overzicht ][ Alle werkbladen | Meetkunde | Cabri
Overzicht - Fagnano's probleem
Formulering
van het probleem
In 1775 formuleerde Fagnano (Giovanni F. Fagnano dei Toschi, 1715-1797, Italië) het volgende
probleem:
| Construeer in een gegeven scherphoekige driehoek ABC een driehoek PQR (P op BC, Q op CA, R op AB) waarvan de omtrek zo klein mogeljk is. |
|
Fagnano zelf leverde het bewijs met behulp van de differentiaalrekening. Hieronder zullen we het bewijs trachten te leveren met behulp van elementaire meetkunde (en Cabri Geometry).
| figuur 1 |  |
- Ga uit van drie punten A, B, C en drie lijnstukken die de zijden vormen.
- Kies P, Q, R op de drie zijden (zie figuur 1) met de functie "Punt op object" in het Teken-menu.
- Teken daarna driehoek PQR met de functie "Driehoek" in het Teken-menu.
Cabri heeft een functie waarmee de omtrek van een object (in dit geval driehoek PQR) kan worden berekend.
- Kies "Afstand en lengte" in het Reken-menu en selecteer daarna driehoek PQR (deze driehoek).
- Probeer nu door herhaalde verplaatsing van de punten P,Q en R de minimale omtrek te vinden.
- Teken ook de hoogtelijnen van driehoek ABC.
Kan je nu (als je de minimale omtrek denkt gevonden te hebben) iets zeggen over de ligging van de punten P,Q en R met betrekking tot deze hoogtelijnen?
 |
Ophalen van de figuur in Cabri Geometry |  |
Animatie met CabriJava | (*) |
| (*) | Voor het ophalen van de figuur in Cabri
Geometry is het noodzakelijk dat Cabri
II is geïnstalleerd op het gebruikte computersysteem, waarbij de
Map-opties voor "Cabri-géomètre II Figure" en "Cabri-géomètre II
Macro" op de juiste wijze zijn ingesteld. Voor animaties met CabriJava moet de gebruikte browser in staat zijn Java-applicaties uit te voeren. Is dit niet het geval, dan kunnen de figuren ook worden gedownload via deze website (zie hiervoor Download). |
| figuur 2 |  |
- Kies een nieuw werkblad.
Teken opnieuw driehoek ABC en de punten P,Q en R als in figuur 1. - Teken driehoek PQR met behulp van de lijnstukken PQ, QR en RP (met de functie "Lijnstuk" in het Teken-menu).
- Spiegel nu het lijnstuk PQ in AC en het lijnstuk PR in AB, beide met de functie "Spiegeling" in het Afbeeldingen-menu (druk eventueel op toets [F1] - Help, waardoor je kan lezen in welke volgorde je de objecten moet selecteren).
- Noem de beeldpunten van P opvolgend P1 en P2 (zie figuur 2), en teken het lijnstuk P1P2.
- Bepaal de lengte van P1P2 met de functie "Afstand en lengte" in het Reken-menu.
Waaraan is het gebroken lijnstuk P1RQP2
gelijk? Waarom?
Is het mogelijk Q en R zo te kiezen, dat P1RQP2 gelijk wordt aan P1P2?
Zoja, hoe dan?
Waaraan is P1P2 dan eveneens gelijk?
- Teken nu ook de lijnstukken AP1, AP2 en AP.
Toon aan dat AP1 = AP en ook dat AP2 =
AP.
Bewijs dat hoek P1AP2 = 2 . hoek
BAC.
Iemand beweert nu:
"De zijde P1P2 van de
gelijkbenige driehoek P1AP2 is zo klein mogelijk, als AP zo klein
mogelijk is".
Geef een argumentatie voor de juistheid van deze bewering.
Aanwijzing:
Verandert hoek P1AP2 in de gelijkbenige driehoek P1AP2,
als de positie van P op AB gewijzigd wordt?
- Kies P nu op AB zodat AP zo klein mogelijk is. Pas daarbij, indien nodig, de ligging van de punten Q en R aan.
Conclusie:
De driehoek die de kleinste omtrek heeft, is de voetpuntsdriehoek
van (het hoogtepunt) van driehoek ABC.
- Controleer dit door opnieuw de hoogtelijnen van driehoek ABC te tekenen.
|
Ophalen van de figuur in Cabri Geometry | |
Animatie met CabriJava |
Download
De hierboven behandelde figuren kunnen ook als één bestand via deze website worden
gedownload.
Dit bestand bevat ook een figuur waarin een tweede bewijs van de "Stelling van
Fagnano" wordt gegeven.
Klik hier om het downloaden te
starten [6Kb, ZIP-formaat].
[fagnano.htm] laatste wijziging op: 09-11-1999