Cabri werkblad

Overzicht  ][  Alle werkbladen | Andere benaderingen | Meetkunde | Cabri

Zie ook: "Kochansky's benadering"

Overzicht - Kochansky's benadering van p

  1. Inleiding
  2. Vooraf: Cabri's rekenmachine
         Opdracht 1
  3. De constructie van Kochansky
         Opdracht 2
  4. De berekening
         Opdracht 3
         Opdracht 4
  5. Download
  6. Referenties

1. Inleiding


De verhouding tussen de omtrek en de middellijn van de cirkel wordt gegeven door het getal p .
Dit getal is een zogenoemd trancendent getal (trancendente getallen zijn bijzondere reële getallen), hetgeen wil zeggen, dat het geen oplossing is van een vergelijking met gehele coëfficiënten).
Daardoor is het niet mogelijk met passer en liniaal een lijnstuk te construeren waarvan de lengte gelijk is aan p .
Door de eeuwen heen heeft men getracht benaderingsconstructies van p te vinden, en de daarmee samenhangende vergelijkingen op te stellen.
In 1685 vond de Poolse jezuïtenpater Adam Kochansky (hij leefde van 1635 tot 1700) een dergelijke constructie.
Deze constructie en de daarbij behorende vergelijking zijn onderwerp van dit Cabri-werkblad.

2. Vooraf: Cabri's rekenmachine


We kijken eerst eens hoe we de waarde van p direct met Cabri kunnen berekenen (eigenlijk is dat ook benaderen).

Opdracht 1
figuur 1 benpi31
  • Kies een nieuw werkblad.
  • Teken een lijn met daarop het punt O.
  • Kies het punt P op die lijn en teken de cirkel met middelpunt O die door P gaat.
  • Teken het lijnstuk PQ dat de middellijn is waarop P ligt (zie figuur 1).
  • Kies nu in het Reken-menu de functie "Afstand en lengte".
  • Wijs PQ aan en bereken de lengte.
  • Wijs de cirkel aan en bereken de lengte (de omtrek dus).

    • Merk op, dat de lengtes worden berekend met een bepaalde lengte-eenheid (de cm is de standaard eenheid van Cabri voor lengte).
    Willen we nu de verhouding tussen PQ en de omtrek berekenen, dan zullen we een deling moeten uitvoeren.

    • Dit kan met de functie "Rekenmachine" in het Reken-menu (zie figuur 2).
    figuur 2 benpi32
  • Klik in het linker venster van de Rekenmachine, het edit-venster. Hierdoor kan een variabele in het venster worden geplaatst.
  • Wijs nu op het werkblad het getal aan (Dit getal) dat de omtrek aangeeft en klik. Je ziet, dat het getal op het werkblad wordt aangegeven met de letter "a". Deze "a" wordt ook in het venster van de rekenmachine geplaatst.
  • Klik nu op de knop [/] van de rekenmachine (dat is de tweede knop van rechts): "deel door".
  • Klik nu het getal aan dat de lengte van de middellijn weergeeft. Dit getal is de variabele "b".

    • In het edit-venster staat nu "a / b".

    • Klik nu op de knop [=]; dat is de knop tussen de beide vensters van de Rekenmachine. In het rechter venster (het resultaat-venster) komt nu de uitkomst van de berekening.
    • Klik nu in dat venster en beweeg de wijzer naar de positie op het Cabri-werkblad waar je de uitkomst wil plaatsen.
    • Klik daar.

    Als het goed is staat er nu een tekst als "Resultaat: 3,14" op het werkblad (zie nogmaals figuur 1, waarin "Resultaat:" is vervangen door "Pi =").

    Opmerking


    Het aantal decimalen van een getal kan worden vergroot of verkleind door het getal te selecteren (je ziet "Dit getal"), dan 1 keer klikken en daarna op de grijze [+] knop of op de grijze [-] knop te drukken (rechts op het toetsenbord).
    [einde Opmerking]

    3. De constructie van Kochansky

    Opdracht 2

  • Kies een nieuw werkblad met daarop een punt O.
  • Teken een horizontale lijn door O. Kies op deze lijn een punt P.
  • Teken het lijnstuk OP. (De lengte van) dit lijnstuk wordt later gebruikt.
  • Teken ook de lijn door O loodrecht op de horizontale lijn (zie figuur 3).
  • Construeer nu achtereenvolgens de punten A (met de cirkel door O en P), B, E, C en D.
    • figuur 3 benpi33
  • Construeer nu het punt F op de horizontale lijn zodat DF = 3OP.
    Aanwijzing
    Je kan hierbij wellicht gebruik maken van het lijnstuk OP en mogelijk ook van twee puntspiegelingen.
    [einde Aanwijzing]
    • Teken het lijnstuk EF en laat Cabri daarvan de lengte bepalen.
    • Bereken nu de verhouding tussen de lengtes van EF en OP.
    • Welk getal heb je gevonden? Is het iets als 3,14?
    • Ga na, dat door verplaatsing van P over de horizontale lijn het gevonden getal niet verandert.

    Je hebt nu Kochansky's benadering van

    p geconstrueerd.

    cabrisignal Klik hier voor de pagina "Kochansky's benadering", waarop een animatie van de constructie staat met CabriJava.

    4. De berekening


    In figuur 4 zien we een (vergroot) stukje van figuur 3.
    figuur 4 benpi34

    Opdracht 3

  • Wat voor soort driehoek is OBC (zie figuur 3 of figuur 4)? Waarom?
  • Waarom staat OB loodrecht op de lijn door C en D?
  • Het punt D is een bijzonder punt van driehoek OBC. Welk bijzonder punt?

    • Stel nu de lengte van OP gelijk aan

    x.
    • Waarom is nu ook OB =
    x? Druk nu OD in x uit.
  • Druk ook OF en daarna EF in
    • x uit.
  • Toon nu aan, dat de verhouding tussen EF en OP gelijk is aan
    •  benpi35
  • Bereken, bijvoorbeeld met de grafische rekenmachine, de waarde van
    • benpi35 in 6 decimalen.
  • Hoeveel verschilt deze waarde van de werkelijke waarde van
    • p ?

    Opdracht 4

    Stellen we nu

    x = benpi35
    • Toon aan dat
    x voldoet aan de vergelijking:
         9    x4 - 240x2 + 1492 =0

    Dit is de vergelijking die bij de

    p -benadering van Kochansky hoort.
    • Bereken ook de andere oplossingen (wortels) van de "vergelijking van Kochansky".

    5. Download
    Van dit werkblad is ook een versie in PDF-formaat beschikbaar:
    pdf benpi3work.pdf [38Kb]

    6. Referenties
    [1] Klik hier voor de pagina "Kochansky's benadering" (met onder meer een benadering mbv. Maple4).
    [2] Op de pagina "De oppervlakte van een cirkel" op deze website staan enkele links naar andere informatie over     p op het Internet.
    [3] Zie verder ook de pagina "Benaderingen van     p" op deze website.

    begin pagina

    [benpi3work.htm] laatste wijziging op: 17-02-2002