Benadering van p volgens Kochansky

Inleiding | Met Maple | Meetkundig | Download ][ Overzichtspagina | Meetkunde

Zie ook: Cabri-werkblad over Kochansky's benadering van p

0. Inleiding
De Poolse jezuïzietenpater Adam Kochansky (1631-1700) heeft in 1685 een benadering van p gevonden.
Merkwaardig is, dat deze benadering niet vaak wordt genoemd in overzichten van de verschillende in de tijd gevonden benaderingen.
We geven onderstaand twee methodes voor Kochansky's benadering:

een benadering met Maple
een meetkundige constructie

1. Methode met Maple
We gaan allereerst uit van de vergelijking 9x⁴ - 240x² + 1492 = 0.
Het blijk dat één van de wortels van deze vergelijking een aardig nauwkeurige benadering van de waarde van p geeft.

> restart:
> verg := 9*x^4-240*x^2+1492=0;

verg := 9x⁴-240x²+1492 = 0

> oplossing := { solve(verg, x) };

oplossing := { 1/3Ö(120 + 18Ö3), 
-1/3Ö(120 + 18Ö3), 1/3Ö(120 - 18Ö3), -1/3Ö(120 - 18Ö3) }

> pi_kochansky := oplossing[3];

pi_kochansky := 1/3Ö(120 - 18Ö3)

> evalf(",15);

3.14153333870509

> evalf(Pi-pi_kochansky);

.000059316

We vinden dus een benadering van p waarvan de fout kleiner is dan 10^-4.

2. Meetkundige constructie
Met behulp van passer en liniaal is dezelfde benadering als in paragraaf 1 ook te construeren.

In de hiernaast staande figuur is een orthogonaal assenstel Oxy gedefinieerd.
Daarin is OA = AE = 1.
De cirkels met middelpunten O en A, beide met straal 1, snijden elkaar in het punt B.
De cirkel met middelpunt B en eveneens met straal 1 snijdt de cirkel met middelpunt O ook in het punt C.
De lijn AC snijdt de x-as in het punt D.
Het punt F ligt zo op de x-as, dat DF = 3.
Nu is
EF = 1/3Ö(120 - 18Ö3)
We vinden op deze manier dezelfde benadering voor p als in paragraaf 1.

Klik hier voor een animatie van de constructie met behulp van CabriJava.
Zie ook het Cabri-werkblad waarop deze benadering wordt behandeld.
Op dit werkblad wordt ook de equivalentie van de methoden in paragraaf 1 en paragraaf 2 behandeld.

3. Download
Het in paragraaf 1 gebruikte Maple werkblad (Maple R4) kan via deze website worden gedownload.
Klik hier om het downloaden te starten [ZIP-formaat, ca. 1Kb].

[benpi3.htm] laatste wijzing op: 06-06-2000