Scheve vierhoek

Definitie Een scheve vierhoek is een vierhoek waarvan de hoekpunten niet in hetzelfde vlak liggen.

N.b. We zullen in hetgeen volgt steeds uitgaan van het vlak V van driehoek ABC cq ABD. Daarbuiten kiezen we dan het punt D cq. C.

Klik hier >< voor aan Cabri 3D applet bij deze definitie (opent in een NieuwVenster; automatische draaiing).

Stelling 1 (Stelling van Varignon) In een scheve vierhoek zijn de middens van de zijden de hoekpunten van een parallellogram.

Bewijs:
P, Q, R, S zijn de middens van opvolgend AB, BC, CD, DA van de scheve vierhoek ABCD.
In driehoek ABD is: PS //= ½ BD
In driehoek BCD is: QR //= ½ BD
Dus PS //= QR, zodat PQRS inderdaad een parallellogram is.¨

Zie ook de pagina "De Stelling van Varignon en meer" (vlakke meetkunde).

Stelling 2 De drie lijnstukken die de middens van de overstaande zijden en de middens van de diagonalen van een scheve vierhoek verbinden, gaan door hetzelfde punt en halveren elkaar.

Bewijs:
PQRS is een parallellogram (zie stelling 1), zodat de lijnstukken PR en QS elkaar snijden in M en elkaar middendoor delen.
We bekijken ESFQ (met E, F midden van AC, BD.
Uit EQ //= ½ AB en FS //= ½ AB, volgt dan dat ESFQ eveneens een parallellogram is.
Ook EF gaat dus door M, waarbij M het midden is van EF.¨

Stelling 3 In een scheve vierhoek is de soms van de kwadraten van de zijden gelijk aan de som van de kwadretn van de diagonalen, vermeerderd met vier maal de som van het lijnstuk dat de middens van de diagonalen met elkaar verbindt.

Bewijs:
In vlak V is AF een zwaartelijn in driehoek ABD:
     AF² = ½ AB² + ½ DA² - ¼ BD² ......(i)
In vlak W is in driehoek BDC CF een zwaartelijn:
     CF² = ½ BC² + ½ CD² - ¼ BD² ......(ii)
Optelling van (i) en (ii)  en vermenigvuldiging met 2 geeft dan:
    2( AF² + CF²) = (AB² + BC² + CD² + DA²) - BD² ......(iii)
In driehoek AFC is EF zwaartelijn, zodat
    4 EF² = 2(AF² + CF²) - AC² ......(iv)
Uit (iii) en (iv) volgt het gestelde.¨

Stelling 4 Als de diagonalen van een scheve vierhoek elkaar loodrecht kruisen, dan zijn de sommen van de kwadraten van de twee paren overstaande zijden gelijk.

Bewijs:
PBD is een loodvlak op AC.
Nu is in driehoek ABP: AB² = AP² + BP²
en in driehoek CDP: CD² = CP² + DP²
Optelling geeft dan:
    AB² + CD² = (AP² + DP²) + (BP² + CP²)
en via de stelling van Pythagoras in de rechthoekige driehoeken BPC en DPA geeft dit
    AB² + CD² = BC² + DA²
¨

Voor het bewijs van deze stelling wordt verwezen naar het artikel "Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek".
Dit artikel is opgenomen in een PDF-bestand.
Klik hier om dat bestand te downloaden (PDF-formaat; ca. 346 Kb) / IE-menu: Rechtsklikken.