Scheve vierhoek

Overzicht  ][  Overzicht stereo | Cabri 3D


Overzicht terug


schvierh0
Definitie terug
Een scheve vierhoek is een vierhoek waarvan de hoekpunten niet in hetzelfde vlak liggen.

N.b. We zullen in hetgeen volgt steeds uitgaan van het vlak V van driehoek ABC cq ABD. Daarbuiten kiezen we dan het punt D cq. C.

Klik hier >Cabri 3D applet< voor aan Cabri 3D applet bij deze definitie (opent in een NieuwVenster; automatische draaiing).

schvierh0a
Stelling 1 terug
(Stelling van Varignon) In een scheve vierhoek zijn de middens van de zijden de hoekpunten van een parallellogram.

Bewijs:
P, Q, R, S zijn de middens van opvolgend AB, BC, CD, DA van de scheve vierhoek ABCD.
In driehoek ABD is: PS //= BD
In driehoek BCD is: QR //= BD
Dus PS //= QR, zodat PQRS inderdaad een parallellogram is.

Zie ook de pagina "De Stelling van Varignon en meer" (vlakke meetkunde).

schvierh2
Stelling 2 terug
De drie lijnstukken die de middens van de overstaande zijden en de middens van de diagonalen van een scheve vierhoek verbinden, gaan door hetzelfde punt en halveren elkaar.

Bewijs:
PQRS is een parallellogram (zie stelling 1), zodat de lijnstukken PR en QS elkaar snijden in M en elkaar middendoor delen.
We bekijken ESFQ (met E, F midden van AC, BD.
Uit EQ //= AB en FS //= AB, volgt dan dat ESFQ eveneens een parallellogram is.
Ook EF gaat dus door M, waarbij M het midden is van EF.

schvierh1
Stelling 3 terug
In een scheve vierhoek is de soms van de kwadraten van de zijden gelijk aan de som van de kwadretn van de diagonalen, vermeerderd met vier maal de som van het lijnstuk dat de middens van de diagonalen met elkaar verbindt.

Bewijs:
In vlak V is AF een zwaartelijn in driehoek ABD:
     AF2 = AB2 + DA2 - BD2 ......(i)
In vlak W is in driehoek BDC CF een zwaartelijn:
     CF2 = BC2 + CD2 - BD2 ......(ii)
Optelling van (i) en (ii)  en vermenigvuldiging met 2 geeft dan:
    2( AF2 + CF2) = (AB2 + BC2 + CD2 + DA2) - BD2 ......(iii)
In driehoek AFC is EF zwaartelijn, zodat
    4 EF2 = 2(AF2 + CF2) - AC2 ......(iv)
Uit (iii) en (iv) volgt het gestelde.

schvierh3
Stelling 4 terug
Als de diagonalen van een scheve vierhoek elkaar loodrecht kruisen, dan zijn de sommen van de kwadraten van de twee paren overstaande zijden gelijk.

Bewijs:
PBD is een loodvlak op AC.
Nu is in driehoek ABP: AB2 = AP2 + BP2
en in driehoek CDP: CD2 = CP2 + DP2
Optelling geeft dan:
    AB2 + CD2 = (AP2 + DP2) + (BP2 + CP2)
en via de stelling van Pythagoras in de rechthoekige driehoeken BPC en DPA geeft dit
    AB2 + CD2 = BC2 + DA2

Stelling 5 terug
Als in een scheve vierhoek de zijden elkaar loodrecht kruisen, dan kruisen de diagonalen elkaar ook loodrecht.
 
Bewijs:

Bekijk het viervlak ABCD. Daarin is AB_|_CD en AD_|_BC. Dan is ook AC_|_BD; dit is een eigenschap van een orthogonaal viervlak (zie de pagina "Orthogonaal viervlak", stelling 1).
.
Stelling 6 terug
Een scheve vierhoek waarvan de sommen van de overstaande zijden gelijk zijn, heeft een ingeschreven bol.
.
schvierh4 Onder een ingeschreven bol verstaan we in dit geval een bol die raakt aan de zijden van de scheve vierhoek.
In feite is het zo, dat zo'n vierhoek meerdere ingeschreven bollen heeft.

Voor het bewijs van deze stelling wordt verwezen naar het artikel "Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek".
Dit artikel is opgenomen in een PDF-bestand.
Klik hier om dat bestand te downloaden (PDF-formaat; ca. 346 Kb) / IE-menu: Rechtsklikken.


terug
[p : schevevierhoek.htm] laatste wijziging op: 06-10-2005