Een andere constructie van de gulden snede / regelmatige vijfhoek

Constructie gulden snede cabrisignal | Bewijs | Constructie regelmatige vijfhoek  ][  Gulden snede en Fibonacci  |  Meetkunde   |  Cabri

We geven hieronder andere constructies (dan die vermeld zijn op de pagina Gulden snede en Fibonacci) voor:

  1. Gulden snede
  2. Regelmatige vijfhoek
         Eerste constructie (basis: omcirkel)
         Tweede constructie (basis: omcirkel)
         Derde constructie (basis: zijde)

Constructie gulden snede terug

N.b. vumr betekent: verdeling in uiterste en middelste reden.

sa1 Op de loodlijn in B op AB ligt het punt N met BN = AB.
M is het midden van AB.
De cirkel (M, MN) snijdt de lijn AB in de punten S en S'.
Het punt T is het snijpunt van AB met de cirkel (A, BS); of ook: T is het spiegebeeld van S' in A.
Dan is T = vumr(AB).

Klik hier voor het bewijs.

Zie verder ook onderstaande Opmerking.

Klik hier >Applet< voor een CabriJavapplet van bovenstaande constructie.

Bewijs terug

In bovenstaande figuur kiezen we AB = 1.
Nu is MN = MS = Ö(¼ + 1) = ½Ö5
AT = BS = ½Ö5 - ½
En dan:
AT2 = 5/4 + 1/4 - ½Ö5 = 1½ - ½Ö5
en ook
AB . TB = 1 · (1 - ½Ö5 + 1) = 1½ - ½Ö5, zodat inderdaad AT2 = AB  · TB.
Met andere woorden: T = vmur(AB). ¨

Opmerking terug

sa2 Deze constructie is de basis voor de constructie van de zogenoemde 'gulden rechthoek'.
Zie de figuur hiernaast.

Zie verder ook de Derde constructie van de regelmatige vijfhoek.

Constructie regelmatige vijfhoek terug

Eerste constructie (basis: omcirkel) terug

sa3 Ga uit van een cirkel met straal OA.
De loodlijn in O op OA snijdt de cirkel o.a. in het punt T.
Zij dan M het midden van OT.
De bissectrice van hoek OMA snijdt OA in het punt S.
De loodlijn in S op OA snijdt de cirkel in de punten B en E.
De punten C, D kunnen worden geconstrueerd met de cirkels (B, BA) en (E, EA).
ABCDE is dan de gevraagde regelmatige vijfhoek.

Bewijs:
Stel OA = 2. Dan is OM = 1 en MA = Ö5.
Volgens de bissectrice-stelling in driehoek OMA is dan: OS : AS = OM : AM = 1 : Ö5.
Zodat OS = 1/(1 + Ö5) . 2 = 2 / (1 + Ö5).
Dan is: cos BOS = OS / OB = 1 / (1 + Ö5) = ¼(Ö5 - 1) (*).
Zodat BOS = BOA = 72º. ¨

(*)
Voor een afleiding van de goniometrische verhoudingen van de hoeken van 36º en 72º zie het artikel "Over de hoeken van 36º en 72º", januari 2006.
Klik hier om het artikel te downloaden (PDF-bestand; ca. 112 kB).
Opmerking. Voor het lezen van een PDF-bestand wordt Adobe Reader® geadviseerd >>> Get Reader.

Tweede constructie (basis: omcirkel) terug

sa4 Ga weer uit van een cirkel met straal OA.
Voor K op OA geldt: K = vumr(OA).
De middelloodlijn van KA snijdt de cirkel o.a. in B'. Dan is B'OA een gelijkbenige driehoek met tophoek O van 72º.
We kunnen nu de regelmatige vijfhoek ABCDE construeren op basis van een regelmatige tienhoek (AB'BC'C...) die bepaald is door de zijde AB'.

Derde constructie (basis: zijde) terug

Zie ook bovenstaande constructie van de Gulden snede.

sa5 We gaan nu uit van een vierkant abcd, waarvan |ab| = 2.
Hierin is m het midden is van ab.
We kunnen dan eenvoudig (via mc) een lijnstuk construeren waarvan de lengte gelijk is aan Ö5 + 1, namelijk het lijnstuk ae.
Het lijnstuk ae gebruiken we als diagonaal van de te construeren regelmatige vijfhoek ABCDE, waarvan de zijde AB gelijk is aan de zijde ab van het vierkant.
- Teken de cirkels (A, ae) en (B, ae) die elkaar snijden in het punt D.
- Teken de cirkel (D, ab) die beide reeds getekende cirkels snijdt in de punten C en E.

o Zie ook de pagina "De Vijfhoek, het Pentagram & de Gulden Snede" op de website van Hans Bär.

begin pagina
[p : sa2.htm] laatste wijziging op: 21-02-2006