Generalisatie van de spiegeling: de centrale collineatie

Overzicht ][ Proj.Meetkunde | Meetkunde

0. Overzicht

Puntspiegeling

Loodrechte lijnspiegeling

Scheve lijnspiegeling

Centrale collineatie

Generalisatie

Andere eigenschappen van de centrale collineatie

Constructies met Cabri (macro's)

Download

1. Puntspiegeling

figuur 1

Zij O een vast punt in het vlak.
De puntspiegeling P_o van een punt X met P_o(X) = X’ wordt vastgelegd door

X’ op de lijn OX
XO = X’O

Eigenschappen
De eigenschappen van deze afbeelding zijn genoegzaam bekend. We noemen er enkele.

Congruentie van figuur en beeldfiguur.
Origineel en beeld van overeenkomstige lijnen (lijnstukken) zijn evenwijdig.

2. Loodrechte lijnspiegeling

figuur 2

Zij m een willekeurige rechte lijn in het vlak.
De loodrechte lijnspiegeling L_m van een punt X met L_m(X) = X’ in een lijn m wordt vastgelegd door

XX’ _|_ m met XX’ /\ m = X_m
XX_m = X’X_m

Opmerking
De loodrechte lijnspiegeling wordt ook wel kortweg spiegeling genoemd.
[einde Opmerking]

Eigenschappen
Ook hier alleen een enkele:

Congruentie van figuur en beeldfiguur.
De lijn m is de collineatie-as van de snijpunten van overeenkomstige lijnen.

3. Scheve lijnspiegeling

Zie hiervoor ook het Cabri-werkblad "Scheve lijnspiegeling"
Zie ook de pagina "Affiene afbeeldingen"

figuur 3

Zijn m en r twee willekeurige lijnen in het vlak waarbij r niet loodrecht staat op m.
We noemen in dit verband de scherpe hoek j tussen de lijnen m en r de richting van de spiegeling.

De scheve lijnspiegeling S_m[r] van een punt X met S_m[r](X) = X’ in de lijn m in de richting van een lijn r wordt vastgelegd door

XX’ // r met XX’ /\ m = X_m
XX_m = X’X_m

Eigenschappen

Geen congruentie.
De lijn m is de collineatie-as van de snijpunten van overeenkomstige lijnen.
De oppervlakte van een figuur is invariant bij scheve lijnspiegeling (zie bewijs).

Eerste bewijs (gedeeltelijk):

figuur 4

Zie hiervoor ook het Cabri-werkblad "Scheve lijnspiegeling".

De afstand van de punten X en X’ tot de lijn m zijn gelijk, waardoor driehoeken die twee hoekpunten op de lijn m hebben gelijke oppervlakte hebben (zie figuur hiernaast).

Daaruit volgt dan gemakkelijk het algemene geval. ¨

Klik hier voor een CabriJavapplet ter illustratie.

Tweede bewijs (analytisch):

figuur 5

We gaan uit van een orthonormaal assenstelsel. De lijn m laten we samenvallen met de x-as.
De basisvectoren zijn dan e₁ = (1,0) en e₂ = (0,1).
Het beeld van e₁ is (1,0). Zij Y’ het beeld van het eindpunt Y van e₂. We hebben dan Y’ = (x, -1).
Voor P, het midden van OQ geldt dan OY/OP = tan j . Zodat uit OP = 1/tan j volgt:
x = 2/tan j .

Voor de determinant van de afbeelding S_m[r] geldt dan:
genspiegelf1
¨

figuur 6

Verhoudingen van lijnstukken (dubbelverhouding) zijn invariant.
Het beeld van een cirkel is een ellips (*).
De asrichtingen van de ellips zijn vast. Deze zijn evenwijdig met de bissectrices van de hoeken tussen de lijnen m en r.
Uit de invariantie van de dubbelverhouding volgt dat het middelpunt van de cirkel wordt afgebeeld op het middelpunt van de ellips.
Uit de gelijkheid van de oppervlakte van de cirkel en de ellips volgt eenvoudig, dat R² = ab, waarbij R de straal van de cirkel en a,b de lengtes zijn van de halve assen van de ellips.
__________
(*) Klik hier voor het bewijs hiervan.

Klik hier voor een CabriJavapplet ter illustratie.

Opmerking
Indien de lijn r loodrecht staat op m, dan gaat de scheve lijnspiegeling over in de loodrechte lijnspiegeling.
Zie verder eventueel ook de pagina "Affiene afbeeldingen"
[einde Opmerking]

4. Centrale collineatie

figuur 7

O is een vast punt en m is een vaste lijn in het vlak.
Het beeld X’ van een punt X bij een centrale collineatie C_O,m wordt vastgelegd door
(OHXX’) = -1
waarbij H het snijpunt is van de lijn OX en de lijn m.
(OHXX’) is de dubbelverhouding

. Hierbij worden de lijnstukken van een teken voorzien (gerichte lijnstukken).

Nb. Dat (OHXX') = -1 is n i e t noodzakelijk voor een centrale collineatie. Ook als (OHXX') = k (met k constant), spreekt men van een centrale collineatie.
In hetgeen volgt, is steeds k = -1 (we spreken wel van een harmonische afbeelding).

Opmerking
Een centrale collineatie wordt ook wel perspectiviteit (of perspectieve afbeelding) genoemd.
[einde Opmerking]

Eigenschappen

Een centrale collineatie is een involutie (alleen als k = -1).
De punten van de lijn m zijn invariant.
Lijnen door O zijn (niet-puntsgewijs) invariant.
De dubbelverhouding van 4 punten is invariant.
Het snijpunt van overeenkomstige lijnen (origineel en beeld) liggen op m.

Klik hier voor een CabriJavapplet ter illustratie.

Stelling
Zij P en p pool en poolijn van een kegelsnede K.
Bij de centrale collineatie met centrum P en as p is K (niet-puntsgewijs) invariant

Bewijs:

figuur 8

Uit de definitie van poollijn van een punt tov. een kegelsnede volgt dat voor een punt X van K geldt:
(PH_xXX’) = -1
waarbij X’ het tweede snijpunt is van de lijn PX en de kegelsnede.
X wordt dus bij de centrale collineatie afgebeeld op X’. ¨

Klik hier voor een CabriJavapplet ter illustratie van deze stelling.

5. Generalisatie

[1]
Als O op l_¥ (dit is de lijn op oneindig) ligt, dan gaat de centrale collineatie over in de scheve spiegeling.
Immers uit (OHXX’) = -1 volgt dan, dat H het midden is van het lijnstuk XX’ (voor ieder punt X).

figuur 9a	In figuur 9a wordt een punt R_¥ bepaald door de evenwijdige lijnen r. Door identificatie van O met R_¥ krijgen we dan figuur 9b. Door identificatie van twee punten op m met twee punten op l_¥ krijgen we figuur 9c.
figuur 9b	figuur 9c

[2]
Als m º l_¥ , dan gaat de centrale collineatie over in de puntspiegeling met centrum O. Immers uit (OHXX’) = -1 volgt dan dat O het midden is van het lijnstuk XX’ (voor ieder punt X).

6. Andere eigenschappen van de centrale collineatie

Stelling
Een centrale collineatie beeldt een kegelsnede af op een kegelsnede.

Bewijs:

figuur 10

Een en ander volgt uit de projectieve eigenschappen van een kegelsnede, waardoor projectieve lijnenwaaiers door de centrale collineatie weer worden afgebeeld op waaiers met dezelfde eigenschappen. ¨

Gevolg
Bekijken we nu de vermenigvuldiging V met centrum O en factor ½.
De collineatie-as van de centrale collineatie wordt door V afgebeeld op een rechte lijn m’.
Deze lijn m’ speelt nu een rol om de beelden van de kegelsneden te onderscheiden in hun verschillende typen: ellips, parabool en hyperbool.
Immers de punten van de lijn m’ worden door de centrale collineatie afgebeeld op punten van l_¥ (het beeld van m’ bij de centrale collineatie is l_¥ ).

figuur 11a

figuur 11b

figuur 11c

In figuur 11a snijdt de lijn m’ de kegelsnede (in dit geval een cirkel) in twee verschillende punten. Het beeld van de cirkel is dus een hyperbool.
In figuur 11b raakt de lijn m’ aan de cirkel. Het beeld van de cirkel is een parabool.
In figuur 11c heeft de lijn m’ geen punten gemeen met de cirkel. Het beeld is een ellips.

Klik hier voor een CabriJavapplet ter illustratie.

Asymptoten van een hyperbool

figuur 12

In figuur 12 snijdt de kegelsnede (in dit geval weer een cirkel) de lijn m in twee punten A en B.
Het beeld is dus een hyperbool.
De beelden van de punten A en B liggen dus op l_¥ .
De raaklijn in A (en B) wordt afgebeeld op de raaklijn in A_¥ (en B_¥ ). De beelden daarvan zijn dus de asymptoten van de hyperbool.
Echter, lijn (ic. de raaklijn in A) en beeldlijn (een asymptoot) snijden elkaar op m: het punt A".
De lijn door A" evenwijdig aan de lijn OA is dus een asymptoot.
De lijn door B" evenwijdig aan de lijn OB is eveneens een asymptoot van de hyperbool.

Een bijzonder geval
We laten het centrum O van de centrale collineatie samenvallen met het middelpunt van de cirkel.

figuur 13a	In figuur 13a is de lijn TT_m de raaklijn in T aan de cirkel. De lijn T’T_m is dan raaklijn aan (in dit geval) de ellips (het beeld van de cirkel bij de centrale collineatie met centrum O). Deze lijn snijdt de lijn m’ in het punt R. Nu is dus hoek T’OR = 90° . Het punt O is nu een brandpunt van de ellips; de lijn m’ is de daarbij behorende richtlijn. Klik hier voor een CabriJavapplet ter illustratie.
figuur 13b	In figuur 13b is de situatie weergegeven voor een parabool (de lijn m’ raakt aan de cirkel). Het punt Q (samen met het punt P snijpunten van de lijn OT_m en de cirkel) heeft als beeld het punt Q’ (de top van de parabool).
figuur 13c	In figuur 13c zien we de situatie voor een hyperbool.

7. Constructies met Cabri (macro's)

Met Cabri Geometry II kunnen we de meeste van in de bovenstaande paragrafen vermelde eigenschappen met constructies illustreren.
Een macro die van objecten het beeld bij een centrale collineatie geeft, beschrijven we hieronder (zie macro:CentrCollineatie). We gebruiken daarbij als basis de volgende macro.

macro:VierdeHarmonische

figuur 14a

We gaan uit van de (collineaire) punten A, B, C.
Construeer nu het punt D zo, dat (ABCD) = -1.
1. Lijn(B, C)
2. Cirkel(C, B)
3. Loodlijn(C, 1)
4. Snijpunt(3, 2) = P
5. Lijn(P, A)
6. EvenwijdigeLijn(B, 5)
7. Snijpunt(6, 3) = Q
8. Puntspiegeling(Q, B) = R

9. Lijn(P, R)
10. Snijpunt(1, 9) = D
Beginobjecten: A, B, C (in deze volgorde); eindobject: D.

Bewijs:
ACP ~ BCQ (hh), waaruit volgt: AP : BQ = AC : BC
en ook DPA ~ DRB (hh) waaruit volgt: PA : RB = DA : DB.
Dan is
(ABCD) = (CA/CB) : (DA/DB) = (AP/BQ) x (RB/PA) = -BQ / RB = -1. ¨

Gevolg

figuur 14b

Als het punt A samenvalt met het oneigenlijke punt van de lijn BC, dan is B het midden van CD.
In figuur 14b is m een lijn evenwijdig met BC. A is het "snijpunt" van deze lijnen; zie de notatie A= (INF; 0.00).

Opmerking
In Cabri Geometry II wordt met "INF" een coördinaat aangeven van een (bestaand) punt op de oneigenlijke rechte).
[einde Opmerking]

[einde Gevolg]

macro:CentrCollPunt
Deze macro gebruiken we om snel het beeld van een punt bij een centrale collineatie te construeren (hier is ook k = -1).

figuur 15a

Constructiestappen
uitgaande van de gegeven objecten O, X en m (de collineatie-as):
1. Lijn(O, X)
2. Snijpunt(1, m) = X_m
3. macro:VierdeHarmonische(O, X_m, X) = Y
Beginobjecten: X, O (in deze volgorde), m; eindobject: Y.

figuur 15b

figuur 15c

genspiegel15c

Gevolg
Als X gelegen is op het beeld van de lijn m bij vermenigvuldiging met ½ tov. O, dan is Y het oneigenlijk punt van de lijn OX (zie figuur 15b en figuur 15c).
Dan is X het midden van het lijnstuk OX_m.
[einde Gevolg]

Op basis van de macro:CentrCollPunt kunnen we nu de macro:CentrCollineatie definiëren waarmee van andere objecten (zoals lijnstuk, lijn, cirkel, kegelsnede) het beeld bij een centrale collineatie kan worden geconstrueerd.

macro:CentrCollineatie (alleen het beeld van een cirkel; hier is ook k = -1)

figuur 16

Constructiestappen uitgaande van het punt O (1), de lijn m (2) en een cirkel (middelpunt 3 en lijn 4):
5. Loodlijn(3, 2)
6. Loodlijn(3, 5)
7, 8. Snijpunt(5, 4), Snijpunt(6, 4)
9. Middelloodlijn(1, 8)
10. Loodlijn(3, 9)
11, 12. Snijpunten(9, 4)
13, 14. Snijpunten(10,14)
15. Middelloodlijn(7, 11)
16. Snijpunt(15, 4)
17. (geen nummer) macro:CentrCollPunt(16, O, m)
18, 19, 20, 21 … eveneens toegepast op de punten 11, 13, 14, 12
22. Kegelsnede(17, 18, 19, 20, 21)
Beginobjecten: cirkel, O, m;
eindobject: kegelsnede (in dit geval dus de hyperbool).

8. Download
De meeste figuren van deze pagina, de figuren die gebruikt zijn bij de CabriJavapplets, en de genoemde macro's zijn in één bestand te downloaden via deze website.
Klik hier om het downloadproces te starten (ZIP-bestand, ca. 38Kb).

[genspiegel.htm] laatste wijziging op: 18-jan-18 (08-07-2001)