Euler-cirkels

Overzicht  ][  Koordenvierhoeken   |  Feuerbach  |  Meetkunde

Zie ook de pagina "Complexe getallen en meetkundige bewijzen"

0. Overzicht terug

  1. Definitie en inleiding
  2. Euler-cirkels in een vierhoek
         2.1. Willekeurige vierhoek / Euler-punt
         2.2. Koordenvierhoek
  3. Euler-cirkels in een koordenvijfhoek
  4. Samenhang met een orthogonale hyperbool
         Stelling van Poncelet-Brianchon

1. Definitie en inleiding terug
In onderstaande paragrafen behandelen we enkele eigenschappen van n-hoeken (n = 3, 4, 5) in samenhang met de cirkels van Euler en het concyclisch zijn van bijzondere punten, alsmede het verband tussen het punt van Euler van een vierhoek en een orthogonale hyperbool door de vierhoekpunten (naar Leonard Euler, 1707-1783, Zwitserland).

Definitie
De Euler-cirkel van een koorde van een cirkel met straal R is de cirkel met straal R/2 die als middelpunt het midden van de koorde heeft (zie figuur 1).
.
figuur 1     figuur 2
euler1 euler2 In figuur 2 zijn de Euler-cirkels van de zijden van driehoek ABC getekend; de zijden zijn dus opgevat als koorden van de omcirkel van ABC.
De bijzondere eigenschappen van deze figuur zijn geformuleerd in stelling 1.
.
Stelling 1
De middelpunten van de Euler-cirkels van de zijden van een driehoek zijn concyclisch.
De Euler-cirkels van de zijden van een driehoek gaan door één punt.

Opmerkingen
[1]
De cirkel met middelpunt N die gaat door de middens van de zijden noemen we de Euler-cirkel van de driehoek.
In een ander verband wordt deze cirkel ook wel de Negenpuntscirkel of de cirkel van Feuerbach genoemd.
Het punt N heet ook wel Euler-punt van de driehoek.
[2]
De straal van de Euler-cirkel van een driehoek is dus R/2.
[einde Opmerkingen]

Bewijs van Stelling 1:

figuur 3 euler3 Zie figuur 3.
De Euler-cirkel van driehoek ABC onstaat uit de omgeschreven cirkel door vermenigvuldiging met de factor -½ ten opzichte van het zwaartepunt Z van de driehoek. De straal van de Euler-cirkel is dus R/2.
Zij N het middelpunt van deze cirkel, dan is dus:
NA' = NB' = NC' = R/2.
De Euler-cirkels van de zijden van de driehoek gaan dus door N. ¨

Opmerking
Voor een uitvoeriger behandeling van deze eigenschappen wordt verwezen naar de pagina "De cirkel van Feuerbach".
[einde Opmerking]

2. Euler-cirkels in een vierhoek  terug
2.1. Willekeurige vierhoek / Euler-punt
We gaan eerst uit van een willekeurige convexe vierhoek (dus niet noodzakelijk een koordenvierhoek).
Van de vier diagonaaldriehoeken (driehoeken met drie hoekpunten van de vierhoek als hoekpunt) van deze vierhoek tekenen we de Euler-cirkel (zie figuur 4).
Er blijkt:

figuur 4 euler4
Stelling 2
De Euler-cirkels van de diagonaaldriehoeken van een vierhoek gaan door één punt.
Dit punt heet het Euler-punt van de vierhoek.

Bewijs: zie figuur 5.
Hierin zijn getekend de Euler-cirkels van de driehoeken ABC en BCD en de middens Mi van de zijden van de vierhoek.
U is het midden van AC, V is het midden van BD.
N is tweede snijpunt van de Euler-cirkels.
figuur 5 euler6 We zullen aantonen, dat ook N, V, Mb en Mc conclyclisch zijn (dus dat ze  liggen op de Euler-cirkel van driehoek ACD).
MaMbNU is koordenvierhoek (Euler-cirkel).
Dus h(UMaMb) = buitenhoek bij N
MbMcVN is koordenvierhoek (Euler-cirkel).
Dus h(VMcMb) = buitenhoek bij N

MbCUMa is parallelogram, dus h(UMaMb) = h(MbCU).
VMc // MbC, dus h(VMcMb) = h(VMbC).
h(VNMc) = h(VMbMc) staan op dezelfde boog.
CMcMdU is een parallellelogram, dus
h(C1) = h(Md1).

In parallellogran MbCMcV is h(C) + h(Mb) =180°.
Dus in vierhoek UNMcMd is h(N) + h(Md) = 180°.
UNMcMd is dus een koordenvierhoek, waaruit volgt, dat N ook op de Euler-cirkel van de diagonaaldriehoek ACD van de vierhoek ligt.
Op dezelfde manier bewijzen we dat N ook op de Euler-cirkel van de diagonaaldriehoek ABD ligt.
Hier is stelling 2 bewezen. ¨

2.2. Koordenvierhoek
Indien de punten A, B, C, D hoekpunten zijn van een koordenvierhoek hebben we (zie figuur 6):

figuur 6 euler5
Stelling 3
De middelpunten van de Euler-cirkels van de diagonaaldriehoeken van een koordenvierhoek zijn conclyclisch met als middelpunt het punt van Euler van de vierhoek.

Bewijs:
Voor het bewijs van deze stelling wordt verwezen naar de pagina "Koordenvierhoeken", stelling 4.  ¨

Opmerking
Het punt V is het centrum van vermenigvuldiging.
[einde Opmerking]

3. Euler-cirkels in een koordenvijfhoek terug
In figuur 7 staan de middelpunten 1',2',3',4' van de Euler-cirkels van de diagonaalvierhoeken van een koordenvijfhoek 12345.

figuur 7 euler7 De Euler-cirkels van de diagonaalvierhoeken zijn voor de duidelijkheid uit de figuur weggelaten.
Op overeenkomstige manier als bij Stelling 3 kan het bewijs worden geleverd.

Opmerking
We kunnen eea. op dezelfde manier voortzetten voor koorden-n-hoeken met n = 6, 7 , 8, ...
[einde Opmerking]

Opmerking
Zie ook de pagina "Complexe getallen en meetkundige bewijzen - 4".
Daar wordt een bewijs gegeven van het bovenstaande met behulp van complexe getallen.
[einde Opmerking"

4. Samenhang met een orthogonale hyperbool terug
We bewijzen nu:

Stelling 4
Het Euler-punt van een vierhoek ABCD is het middelpunt van de orthogonale hyperbool door de punten A, B, C en D.
.
figuur 8 euler8

We gebruiken voor het bewijs van stelling 4 de volgende stelling:

Stelling 5
[1]
Als een orthogonale hyperbool door de hoekpunten van een driehoek gaat, dan ligt het middelpunt van die hyperbool op de cirkel van Euler van de driehoek.
[2]
Het hoogtepunt van de driehoek ligt op de hyperbool.

Opmerkingen
[1]
Stelling 5 is als probleem door Poncelet (Jean Victor Poncelet, 1788-1867, Frankrijk) en Brianchon (Charles Julien Brianchon, 1785-1864, Frankrijk) geformuleerd en wordt daarom ook wel aangegeven met Stelling van Poncelet-Brianchon.
Nb.
¤ Op de pagina "Probleem van Poncelet-Brianchon" wordt een ander analytisch bewijs van Stelling 5.2 gegeven dan hieronder is vermeld
¤ Op de pagina "Orthogonale hyperbool en driehoek" staat een projectief bewijs van Stelling 5.
[2]
De hyperbool wordt ook wel de hyperbool van Kiepert van driehoek ABC genoemd (naar Ludwig Kiepert, 1846-1934, Duitsland).
Zie de pagina "Probleem van Lemoine" waarop de hyperbool gegenereerd wordt met gelijkbenige driehoeken op de zijden van een driehoek.
[einde Opmerkingen]

Bewijs van Stelling 4:
Volgens Stelling 5 ligt het middelpunt van de hyperbool op elke Euler-cirkel van de diagonaaldriehoeken van de vierhoek.
Volgens Stelling 2 gaan deze Euler-cirkels door één punt, het Euler-punt van de vierhoek.
En daarmee is Stelling 4 bewezen. ¨

Dan nu het
Bewijs van Stelling 5
We gaan daarbij uit van een orthogonale hyperbool waarvan de assen samenvallen met de coördinaatsassen (zie figuur 9).

figuur 9 euler9 Getekend zijn de omgeschreven cirkel van driehoek ABC die de hyperbool in een vierde punt D snijdt.
En verder de punten I (incentrum), Z (zwaartepunt), E (Euler-punt) en H (hoogtepunt) en de Euler-cirkel van de driehoek.
We bewijzen nu met behulp van de analytische meetkunde.
De vergelijking van de hyperbool kunnen we schrijven als
   xy = k
De vergelijking van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC zij
   x2 + y2 -2px - 2qy + r =0
Het middelpunt I heeft dus de coördinaten (p,q).

De x-coördinaten van de snijpunten van beide kromme volgen dan uit:   

   imageseuler_f1
Voor de x-coördinaten xi van de snijpunten hebben we dus: x1+x2+x3+x4 = 2p (coëfficiënt van x3).
Voor de y-coördinaten yi vinden we op dezelfde manier: y1+y2+y3+y4 = 2q.
Dus, vectoriëel geschreven:
   OA + OB + OC + OD = 2OI.
   3OZ + OD = 2OI ...... (1)
Verder is 3IZ = IH, waarbij IZ = OZ - OI en IH = OH - OI.
Zodat
   3OZ - 3OI = OH - OI
waaruit
   3OZ - OH = 2OI ...... (2)
Uit (1) en (2) volgt dan OD = - OH.
Omdat D op de hyperbool ligt en deze spiegelsymmetrisch is in O, geldt dus ook:

Stelling 5.2: Het hoogtepunt H van de driehoek ligt op de hyperbool.

Uit HI = 2HE volgt dan, dat de Euler-cirkel uit de omgeschreven cirkel onstaat door de vermenigvuldiging d met factor ½ en centrum H.
Daarbij is d(D) = O.
Het punt O, het middelpunt van de hyperbool, ligt dus op de Euler-cirkel.
Hiermee is stelling 5.1 ook bewezen. ¨

Gevolg van Stelling 5.1
Ook de hoogtepunten van de diagonaaldriehoeken Ha, Hb, Hc en Hd liggen op de orthogonale hyperbool (zie figuur 10).
figuur 10 euler9b De hoekpunten van de diagonaaldriehoeken liggen immers op de orthogonale hyperbool.

[einde Gevolg]

begin pagina
[euler.htm] laatste wijziging op: 25-05-05