Driehoeksconstructies: a, A, hb + hc en a, A, hb - hc

Constructies  ][  Driehoeksconstructies  |  Meetkunde  |  Cabri


Overzicht constructies terug

[ a  A  hb + hc ]
[ a  A  hb - hc ]


a, A, hb+hc terug  
aAhb+hc We gaan uit van een gegeven driehoek ABC.
BE en CF zijn de (gegeven) hoogtelijnen van die driehoek.
Verleng nu BE (= hb) met EG = CF = hc. l is de lijn door F evenwijdig met AC. l snijdt het verlengde van BA in J.
De driehoeken BAE en AJK zijn dan gelijkvormig (hh), zodat BJG = BAC = A.
Driehoek BJG kan dus worden geconstrueerd (ZHH).
K is de projectie van A op l. AKGE is dan een rechthoek, zpdat AK = EG = hc.
De rechthoekige driehoeken AFC en JKA zijn dan congruent (ZHH), zodat
AJ = CA = b en dus BJ = BA + AJ = c + b = b + c.
Uitgaande van [ a, A, hb+hc ] hebben we nu dus ook [ A, a, b + c ] en dit is construeerbaar.

De constructie is echter ook direct uitvoerbaar, uitgaande van het punt B en driehoek BJG (zie de figuur hiernaast).
We hebben namelijk:
BAC = AJK = A en BAC = AJC + ACJ (buitenhoek van ACJ)
zodat:
AJC = ACJ = A, immers AJ = CA
JC is dan de bissectrice van hoek J, en deze lijn is dan een meetkundige plaats van het punt C.

aAhb+hc2 Ook de cirkel (B, a) is een meetkundige plaats van C, waardoor het punt C construeerbaar is.
Het punt A vinden we dan als snijpunt van AJ en de middelloodlijn van CJ.

Uit de constructie blijkt dat er twee oplossingen zijn (zie de figuur hiernaast), immers de bissectrice van J snijdt de cirkel (B, a) in hoogstens twee punten:
-- ABC en A'BC' (via de middens L en L' van opvolgend JC en JC').

Opmerking
In driehoek BJG hebben we de elementen:
   b + c, hb + hc, A
Twee van deze elementen bepalen telkens het derde, immers van BJG is reeds bekend, dat hoek G = 90.
Ook [ a, b + c, hb + hc ] is dus construeerbaar!

.
a, A, hb - hc terug  

aAhb-hc

We gaan uit van een gegeven driehoek ABC, waarin C > B (immers uit het gegeven volgt dat hb > hc).
Kies op BE ( = hb) het punt G zo, dat EG = CF = hc.
Dus: BG = hb - hc.
De lijn l door G is evenwijdig met AC en snijdt AB in J. K is de projectie van J op AC.
Nu is: CF = GE = JK, zodat de driehoeken AFC en AKJ congruent zijn (ZHH).
Daaruit volgt dat AC = AJ = b.
Dan is BJ = BA - AJ = c - b
We zien dus dat [ a, A, hb - hc ] gelijkwaardig is met [ A, a, c - b ]; en deze laatste is constueerbaar.
aAhb-hc2  

Ook hier kan de constructie direct worden uitgevoerd, uitgaande van het punt B en driehoek BJG, waarin hoek J gelijk is aan A..
Verder is driehoek ACJ gelijkbenig en dan is AJC = (180 - A) = 90 - A.
JC is dus bissectrice van hoek GJA. Die bissectrice is dus een meetkundige plaats van het punt C.
C ligt ook op de cirkel (B, a), zodat we C kunnen vinden als snijpunt van beide.
A vinden we dan als snijpunt van het verlengde van BJ en de middelloodlijn van JC.

Ook nu vinden we twee oplossingen: ABC en A'BC', bepaald via de middens L en L' van opvolgend CJ en C'J.

Opmerking
In driehoek BJG vinden we de elementen:
A, hb - hc en c - b.
'Twee van deze elementen bepalen telkens het derde, immers van BJG is reeds bekend, dat hoek G = 90.
Ook [ a, c - b, hb - hc ] is dus construeerbaar!


begin pagina
[p : aAhb+hc.htm] laatste wijziging op: 20-04-2005