Hyperbolische meetkunde [8]: Oppervlakte

Pagina-overzicht ][ Complexe afbeeldingen | Meetkunde

Begin

0. Overzicht

Asymptotische d-driehoeken
Oppervlakte van een asymptotische d-driehoek
Oppervlakte van een d-driehoek

1. Asymptotische d-driehoeken
De oppervlakte van een figuur in de E-meetkunde wordt gerelateerd aan de oppervlakte van een vierkant met zijde 1 (waarvan de oppervlakte per definitie gelijk is aan 1).
Een dergelijke aanpak is in de H-meetkunde niet goed mogelijk.
We bekijken de oppervlakte van d-driehoeken eerst aan de hand van zogenoemde aymptotische driehoeken.

enkel(voudig)-asymptotisch	dubbel-asymptotisch	drievoudig-asymptotisch

We zullen aan de oppervlakte van een d-driehoek de volgende (gebruikelijke) eisen stellen:
- d-congruente driehoeken moeten gelijke oppervlakte hebben;
- als een d-driehoek gelegen is binnen een andere d-driehoek, dan moet de oppervlakte ervan kleiner zijn;
- oppervlakte moet additief zijn.

2. Oppervlakte van een asymptotische driehoek

Stelling 1
Als van twee d-driehoeken ABC en A'B'C' geldt O(ABC) < O(A'B'C'), dan geldt hoekensom(ABC) > hoekensom(A'B'C')

Bewijs:

figuur1

Zij B een punt van AB'.
Driehoek ABC heeft dus een kleinere oppervlakte dan driehoek AB'C.
Nu is in driehoek BB'C: hoek B = 180° - hoek B1 en hoek C₂ = hoek C₁₂ - hoek C₁.
Voor de hoekensom van driehoek BB'C hebben we dus:
(180° - B₁) + (C₁₂ - C₁) + B' < 180°
zodat B₁ + C₁ > B' + C₁₂
waaruit volgt:
A + B₁ + C₁ > A + B' + C₁₂
De hoekensom van de kleinere driehoek is dus het grootst.¨

Gevolg
Erg kleine driehoeken hebben een hoekensom dicht bij 180° (ze zijn bijna Euclidisch).
[einde Gevolg)

Stelling 2
Een drievoudig-asymptotische driehoek kan worden verdeeld in twee rechthoekige dubbelvoudig-asymptotische driehoeken.

Bewijs:

figuur 2

We kiezen een punt P op de zijde AB.
Valt P samen met A, dan is APC = 180°..
Valt P samen met B, dan is APC = 0°.
Er is dus een positie van P op AB waar APC = 90° (het voetpunt van de loodlijn uit C op AB).
¨

Stelling 3
De hoekensom van een drievoudig-symptotische driehoek is eindig.

Bewijs:

figuur 3

Op basis van stelling 2 kunnen we een drievoudig-asymptotische driehoek verdelen in 6 enkelvoudige-asymptotische driehoeken (met behulp van de hoogtelijnen; zie figuur 3).
Op basis van de optellingseis (zie paragraaf 1) is het dan alleen nodig te bewijzen, dat een enkelvoudig-asymptotische driehoek een eindige oppervlakte heeft.
Zij dus ABC een enkelvoudig-asymptotische driehoek, waarbij C een oneigenlijk punt is (A en B zijn dus d-punten).¨

We verlengen AB tot het oneigenlijk punt C' op de horizon.
AD is de d-bissectrice van hoek A, waarbij D op CC' ligt.
We spiegelen (via een H-spiegeling) vervolgens hoek BAC in de lijn AD. Hierbij wordt B afgebeeld op A₁ op AC.
BC wordt dan dus afgebeeld op A₁C'.
B₁ (op AD) is het snijpunt van BC en A₁C' (zie figuur 4).

figuur 4

De hoeken bij B en A₁ voorzien we ook van bisectrices.
We hebben nu een vijfhoek AA₁D₁D₀B; de oppervlakte daarvan is eindig.
We zullen nu aantonen, dat het mogelijk is driehoek BAC binnen deze vijfhoek af te beelden.
We doen nu met driehoek B₁A₁C hetzelfde als we deden met driehoek BAC: spiegelen in A₁D₁,
waardoor B₁ wordt afgebeeld op A₂ (gelegen op CA₁) en B₁C wordt afgebeeld op A₂C'.
B₁C en A₁D₁ snijden elkaar dan op A₁D₁ in het punt B₂ (zie figuur 5).

figuur 5

In figuur 5 zien we twee paren congruente d-driehoeken, waarvan er telkens éen gelegen is binnen driehoek BAC en de andere binnen de vijfhoek.
We gaan nu met dit proces door, waardoor we een rij van driehoeken B_iA_iC krijgen.
Bij elk tweetal spiegelingen krijgen we dan een paar congruente d-driehoeken waarvan de ene in driehoek BAC en de ander binnen de vijfhoek ligt.
De enkel-asymptotische driehoek kan dus als serie congruente deeldriehoeken worden afgebeeld binnen de vijfhoek en heeft dus een eindige oppervlakte.¨

Stelling 4
Twee drievoudig-aysmptotische driehoeken zijn congruent.

Bewijs:
Een drievoudig-asymptotische driehoek heeft blijkbaar de kleinste hoeksensom (waarde gelijk aan 0º), en volgens stelling 1 de grootste oppervlakte, die volgens stelling 3 eindig is.
Hieruit volgt het gestelde.¨

3. Oppervlakte van een d-driehoek
We kunnen nu de oppervlaktestelling van de hyperbolische meetkunde bewijzen
Deze stelling is voor het eerst bewezen door Carl Friedrich Gauss, 1777-1855, Duitsland.

Stelling 5 - Stelling van Gauss
De oppervakte van een d-driehoek ABC met hoeken A,B,C is gelijk aan K(p - A - B - C).
Hierbij is K dezelfde constante voor alle d-driehoeken.

Bewijs:

figuur 6

figuur 7

We verlengen de zijden AB, BC, CA tot AD, BE, CF waarbij D,E,F op de horizon liggen (zie figuur 6).
Volgens stelling 3 heeft nu driehoek DEF (drievoudig-asymptotisch) een eindige oppervlakte k.
Elke dubbel-asymptotische driehoek (zoals ADF) heeft een oppervlakte die alleen afhankelijk is van de "tophoek".
De oppervlakte van driehoek ADF is dus afhankelijk van de hoek p-A. en dus ook van A.
Stel O(ADF) = f(A)
Verlengen we AC nu tot AX (met X oneigenlijk punt), dan is DFX drievoudig-asymptotisch en opgebouwd uit twee dubbel-asymptotische driehoeken, zodat
[1].....   k = f(A) + f(p - A)
We verdelen nu een drievoudig-asymptotische driehoek in drie dubbel-asymptotische driehoeken met tophoeken p - A, p - B en A + B (zie figuur 7).
Dus
   k = f(A) + f(B) + f(p - (A+B))
Nu is f(p - (A+B)) = k - f(A+B), volgens betrekking [1].
Zodat
   k = f(A) + f(B) + k - f(A+B)
Waaruit weer volgt:
   f(A) + f(B) = f(A+B)
De functie f is dus lineair, zodat f(A) = pA, waarbij p een constante is.
De vergelijking [1] gaat hierdoor over in
   k = pA + p(p - A)
waarui volgt dat p = k / p.
Dus:
   f(A) = kA / p.
In figuur 6 hebben we nu
   O(ABC) = O(DEF) - O(AFD) - O(BDE - O(CEF)
zodat we nu vinden
   O(ABC) = k - (f(A) + f(B) + f(C) ) = k - (k/p) (A + B + C) = (k/p) (p - (A + B + C).
Stellen we K = k/p, dan is dus
   O(ABC) = K(p - (A+B+C))

Het is gebruikelijk de waarde van K gelijk aan 1 te nemen.
Hierdoor is de oppervlakte van een drievoudig-asymptotische driehoek gelijk aan p.
Zodat
O(ABC) = p - ( A + B + C)
¨

Klik hier voor een animatie van de oppervlakte van een d-driehoek.

Begin

[hypm8.htm] laatste wijziging op: 03-06-2000