Cabri werkblad

Overzicht  ][  Alle werkbladen | Meetkunde | Cabri


Overzicht - Een punt "tussen" twee cirkels
Formulering van het probleem
     Opdracht 1
  • Intermezzo
         Deel 1
         Deel 2
  • (Op weg naar) de oplossing
         Opdracht 2
         Opdracht 3
  • Macro:PseudoCentraal
         Opdracht 4
  • Finale
         Opdracht 5
         Opdracht 6 - Gemeenschappelijke raaklijn aan twee cirkels
  • Download

  • Formulering van het probleem
    We gaan uit van twee willekeurige cirkels M1 en M2 en een willekeurig punt P.
    We zoeken een lijnstuk waarvan P het midden is en waarvan de eindpunten op de beide cirkels liggen (zie figuur 1).

    figuur 1 pscen1

    Zo’n lijnstuk noemen we in hetgeen volgt de "pseudo-centraal" van de beide cirkels. Het punt P noemen we het "pseudo-midden" van de cirkels.

    Opdracht 1

    Op basis van de bestaande constructie op het werkblad is het mogelijk het punt B te construeren dat aan één van beide voorwaarden voldoet, namelijk B = Puntspiegeling(A, P).

    • Construeer het punt B met de functie "Puntspiegeling" in het Afbeeldingen-menu.
    • Teken ook het lijnstuk AB.
    • Beweeg nu het punt A over de cirkel M1.
    Opdracht 1 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava      (*)
    _
    (*) Voor het ophalen van de figuur in Cabri Geometry is het noodzakelijk dat Cabri II is geïnstalleerd op het gebruikte computersysteem, waarbij de Map-opties voor "Cabri-géomètre II Figure" en "Cabri-géomètre II Macro" op de juiste wijze zijn ingesteld.
    Voor animaties met CabriJava moet de gebruikte browser in staat zijn Java-applicaties uit te voeren.
    Is dit niet het geval, dan kunnen de figuren ook worden gedownload via deze website (zie hiervoor Download).

    Intermezzo


    Deel 1
    Als je het antwoord op de laatste vraag van opdracht 1 niet hebt kunnen vinden, dan kan je een belangrijke functie van Cabri gebruiken, waardoor je wellicht wel tot een antwoord komt.
    Heb je wel een antwoord gegeven, ga dan verder met Deel 2 van dit Intermezzo.

    Nu wordt de "baan" van het punt B getekend als A over de cirkel beweegt.

    Intermezzo 1 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

    Deel 2

    figuur 2 pscen2

    Het voordeel van het tot je beschikking hebben van een door Cabri geconstrueerde kromme lijn boven een door Cabri berekende kromme lijn (de meetkundige plaats) is, dat je met de geconstrueerde kromme lijn snijpunten met andere objecten kunt bepalen (dat helaas kan niet met meetkundige plaatsen).

    (Op weg naar) de oplossing


    Je kunt nu de oplossing van het probleem gemakkelijk vinden door cirkel M2 te snijden met het gevonden beeld (het beeld van cirkel M1). Zie daartoe figuur 3.
    figuur 3 pscen3

    Opdracht 2

    Als er geen oplossing van het probleem is, verplaats dan het punt P of vergroot/verplaats de cirkel M2.

    In figuur 4 is een situatie weergegeven waarin er slechts één pseudo-centraal van de cirkels (bij het gegeven punt P) te vinden is.

    figuur 4 pscen4

    Opdracht 3


    Bij vaste ligging en grootte van cirkel M1 en van het punt P, zijn er meerdere cirkels M2 (met vaste straal) mogelijk waarbij precies één pseudo-centraal bestaat.
    • Wat is de meetkundige plaats van de middelpunten van die cirkels?
    • Geef een zo volledig mogelijke beschrijving van die meetkundige plaats (let op: er zijn twee mogelijkheden!).
      Aanwijzing
      Kies in het Extra-menu (het tweede menu van rechts) de functie "Spoor aan/uit" en selecteer het punt M2.
      Selecteer opnieuw het punt M2 en sleep het punt M2 nu zo, dat er steeds maar één pseudo-centraal getekend kan worden.
      Zet hierna Spoor weer uit.
    Opdracht 3 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

    Macro:PseudoCentraal


    Het is handig als je voor verder onderzoek de beschikking hebt over een macro die, uitgaande van de cirkels M1 en M2 en het punt P, de pseudo-centralen tekent. We geven deze macro de naam PseudoCentraal.
    We moeten dan natuurlijk een figuur gebruiken waarin het maximaal aantal pseudo-centralen is getekend (zie figuur 5).
    figuur 5 pscen5

    Nb.
    Bij de constructie van de pseudo-centralen van P ten opzichte van beide cirkels in figuur 5 is het punt A niet gebruikt.

    Opdracht 4

    Construeer de macro:PseudoCentraal die, uitgaande van twee cirkels M1 en M2 en van een punt P, de pseudo-centralen van P ten opzichte van die beide cirkels construeert.
  • Bewaar deze macro indien gewenst op disk.
  • Finale


    We passen in opdracht 5 de macro:PseudoCentraal toe.

    Opdracht 5

    figuur 6 pscen6

    Als het goed is, zie je twee pseudo-centralen van P ten opzichte van de cirkels.

    • Geef nu P enkele andere posities en bekijk daarbij het aantal pseudo-centralen.
    Opdracht 5 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Opdracht 5 Animatie met CabriJava
    _
    figuur 7 pscen7

    In figuur 7 zijn de punten A en B pseudo-middens van de cirkels M1 en M2.
    Door A en B gaat precies één pseudo-centraal.

    • Waarom zijn A en B pseudo-middens en waarom hebben de cirkels precies één pseudo-centraal ten opzichte van A en ten opzichte van B?
    • Zijn er meer punten "tussen beide cirkels" zoals A en B? Verklaar je antwoord.
    • Bepaal nu de gebieden waarvoor geldt, dat er, als P in zo’n gebied ligt, twee pseudo-centralen van P zijn ten opzichte van beide cirkels.
    • Aanwijzing

      Zoek ook naar andere punten op de lijn m met precies één pseudo-centraal.
      Bekijk ook de situatie bij een andere positie van M1 en/of M2.
    • Geef een zo nauwkeurig mogelijke beschrijving van de gebieden met opvolgend 0, 1 en 2 pseudo-centralen.

    Opdracht 6 - Gemeenschappelijke raaklijn aan twee cirkels


    Onder een gemeenschappelijk raaklijnstuk van twee cirkels verstaan we het lijnstuk dat de raakpunten op dezelfde gemeenschappelijke raaklijn aan die cirkels verbindt.
    In figuur 8 zijn de gemeenschappelijke raaklijnstukken aan de cirkels M1 en M2 getekend.
    figuur 8 pscen8
    Opdracht 6 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Opdracht 6 Animatie met CabriJava

    In figuur 9 zijn cirkels (ze hebben hetzelfde middelpunt!) getekend die in het midden van die raaklijnstukken raken aan de gemeenschappelijke raaklijnen van de cirkels M1 en M2.

    figuur 9 pscen9

    Download
    De in het werkblad gebruikte Cabri-figuren kunnen via deze website in één bestand worden gedownload.
    Naast de figuren is ook de gebruikte macro in het bestand opgenomen.
    Klik hier om het downloaden van het bestand te starten [12Kb, ZIP-formaat].

    Het werkblad zelf is ook in PDF-formaat beschikbaar:
    pdf pseudocent.pdf [52Kb]


    begin pagina

    [pseudocent.htm] laatste wijziging: 17-02-2000