Volmaakte getallen

[  Getallentheorie  |   Elementen  |  Maple  ]

Definitie
Een volmaakt getal (Engels: perfect number) is een getal dat gelijk is aan de som van alle delers (ongelijk aan het getal zelf).

Euclides (Euclides van Alexandrië, ~325 - ~265 vC), die het begrip introduceerde, schrijft in boek VII van zijn Elementen, in definitie XXII (in vertaling van Dr E.J. Dijksterhuis):
Een volmaakt getal is een getal, dat gelijk is aan zijn eigen delers.

Euclides geeft slechts één stelling over volmaakte getallen. In boek IX, propositie 36 staat (eveneens in vertaling van Dr E.J. Dijksterhuis):

Stelling
Indien vanaf de eenheid willekeurig veel getallen opvolgend worden uitgezet in een dubbelevenredigheid, totdat het samengestelde totaal priem wordt en indien dat totaal vermenigvuldigd met het laatste getal, een getal oplevert, dan zal het ontstane getal volmaakt zijn.

We bewijzen de stelling op de manier waarop Euclides dat deed, maar dan wel in een wat modernere notatie.

Bewijs:
We bekijken de rij bestaande uit n getallen
   1, 2, 22, 23, ..., 2(n-1)
De som van deze getallen is S[n] en dit getal is een priemgetal.
S[n] wordt nu vermenigvuldigd met het laatste getal 2(n-1), met als resultaat 2(n-1) . S[n].
Hiervan moeten we nu bewijzen, dat het een volmaakt getal is.

We beschouwen daartoe de rij
   S[n], 2 . S[n], 22 . S[n], 23 . S[n], ... , 2(n-2) . S[n]
Nu is
   S[n] + 2 . S[n] + 22 . S[n] + ... + 2(n-2) . S[n] = (meetkundige rij) =
   S[n] . ( 2(n-1) - 1 ) / (2-1) = 2(n-1) . S[n] - S[n]
Zodat hieruit volgt, door naar links brengen van de laatste term S[n] in de andere schrijfwijze,
   2(n-1) . S[n] = 2(n-2) . S[n] + ... + 22 . S[n] + 2 . S[n] + S[n] + ( 2(n-1) + 2(n-2) + ... + 2 + 1 )
We zien nu, dat alle termen van het rechterlid van deze gelijkheid delers zijn van het linkerlid.

We moeten nu nog aantonen, dat 2(n-1) . S[n] geen andere delers heeft dan de termen die in het rechterlid staan.
Stel dat 2(n-1) . S[n] een deler x heeft die ongelijk is aan de vermelde (dus ook ongelijk aan S[n]).
Dus voor een zekere m geldt (2(n-1) . S[n] = x . m. Deze deler x moet dan gelijk aan één van de getallen 1, 2, 22, 23, ... , 2(n-1).

Maar x is juist ongelijk aan elk van deze getallen.
Dus x bestaat niet. En dus 2(n-1) . S[n] heeft geen andere delers dan die in het rechterlid.
2(n-1) . S[n] is dus een volmaakt getal. ¨

Maple
Nu een Maple-voorbeeld dat gebaseerd is op deze stelling.

We definieren allereerst een Maple-functie die voor een op te geven getal n een getal volgens de methode van Euclides genereert.
Is dat getal een volmaakt getal, dan heeft de functie die waarde; zo niet, dan is de functiewaarde 0 

> eucl := proc(n)
>   local sn, laatste, prod;
>   sn:=2^n-1; laatste:=2^(n-1); 
>   if isprime(sn) then
>     RETURN(sn*laatste);
>   else
>     RETURN(0);
>   fi;
> end:

Voorbeelden

> eucl(7);
> eucl(23);
8128
0

We kunnen nu een aantal volmaakte getallen geneneren met 

> for n from 1 to 100 do
>   if eucl(n)<>0 then print(n,eucl(n)) fi;
> od;
2, 6
3, 28
5, 496
7, 8128
13, 33550336
17, 8589869056
19, 137438691328
31, 2305843008139952128
61, 2658455991569831744654692615953842176
89, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216

We vinden zo dus de eerste 10 volmaakte getallen.
De lezer merkt natuurlijk op, dat de natuurlijke getallen n die de volmaakte getallen genereren, priemgetallen zijn. Voorts wellicht ook, dat de volmaakte getallen eindigen op het cijfer 6 of op 8.

En natuurlijk, omdat elk volmaakt getal te schrijven is als
   P[n] = 2(n-1) . (2n - 1)
vinden we dat de tweede factor (tussen haakjes) een Mersenne-priemgetal is.

Gevolg
Een volmaakt getal P[n] is dus te schrijven als P[n] = 2(n-1) . M[n], waarbij M[n] een Mersenne-priemgetal is.

begin pagina
[volmaakt.htm] laatste wijziging op: 29-03-03