Een eigenschap van het hoogtepunt

Stelling  |  1e bewijs  |  2e bewijs  ][  Lijn van Steiner  |  DK & Meetkunde

Stelling
In een driehoek liggen het hoogtepunt en het snijpunt van de hoogtelijn met de omcirkel symmetrisch ten opzichte van de zijde waarop die hoogtelijn staat;
of
Het spiegelbeeld van het hoogtepunt van een driehoek in een zijde ligt op de omcirkel.

We geven twee bewijzen van deze stelling geven (zie 1e bewijs en 2e bewijs)

1e Bewijs :
We willen aantonen (zie figuur 1), dat het punt Ha symmetrisch ligt met het punt H ten opzichte van de lijn BC.

figuur 1 imagessteiner21 In de driehoeken AEH en BDH is ÐE = ÐD en ÐH = ÐH; dus
  ÐEAH = ÐDBH.

Verder is ÐHaAC = ÐHaBC (staan op gelijke bogen).

Uit beide volgt nu
  ÐHaBD = ÐHBD
Terwijl BD ^ HaH.

Hieruit volgt dan inmiddellijk, dat HD = HaD, zodat H en Ha symmetrisch liggen ten opzichte van de zijde BC van de driehoek. ¨

Opmerking
Deze eigenschap wordt ook gebruikt bij het onderzoek naar de zogenoemde cirkel van Feuerbach (ook wel negenpuntscirkel genoemd).
[einde Opmerking]

Klik hier om terug te gaan naar de tekst op de pagina Steiner-lijn.

2e Bewijs
Dit bewijs maakt gebruik van de eigenschappen van een koordenvierhoek (zie figuur 2).
We tonen aan, dat het spiegelbeeld Ha van H in de zijde BC op de omgeschreven cirkel van ABC ligt.

figuur 2 imagessteiner22 Uit de spiegeling in BC blijkt:
   ÐBHC = ÐBHaC.

Verder is in vierhoek AFHE ÐE = ÐF = 90º, zodat daarin ÐH + ÐA = 180º.

Maar dan geldt
   ÐBAC + ÐBHaC = 180º
zodat ook ABHaC een koordenvierkoek (in de omgeschreven cirkel van ABC) is.

Dus Ha ligt op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. ¨

Klik hier om terug te gaan naar de tekst op de pagina Steiner-lijn.

begin pagina
[steiner2.htm] laatste wijziging op: 23-12-2003