Over de secans en de cosecans

Overzicht  ][  Sinus, cosinus, tangens | Analyse

Overzicht terug

  1. Definities
  2. Grafieken cabrisignal
         Meetkundige eigenschap
         Vreemde woorden
  3. Gebruik van de functie h(x) = 1 / x cabrisignal

1. Definities terug
Op de pagina "Sinus, cosinus en tangens als functies" zijn de sinus en de cosinus gedefinieerd als functie van een reële variabele met behulp van de eenheidscirkel.
De omgekeerden van deze functies (niet te verwarren met de inverse functies van sinus en cosinus) werden vroeger ook nog wel in het Nederlandse middelbaar onderwijs behandeld. De omgekeerde functies komen mogelijk nog wel voor in het Vlaamse onderwijs.

Definities
De functie secans wordt op de verzameling van de reële getallen gedefinieerd als:
  secans(x) = sec(x) = sc(x) = 1/cos(x)
De functie cosecans wordt op de verzameling van de reële getallen gedefinieerd als:
  cosecans(x) = cosec(x) = csc(x) = 1/sin(x)

Gevolg
Sec(x) is niet gedefinieerd voor x = ½p + k·p (met k geheel).
Cosec(x) is niet gedefinieerd voor x = kp (met k geheel),
immers voor die waarden van x is de noemer van de betreffende definiërende functie gelijk aan 0.
[einde Gevolg]

2. Grafieken terug
De grafieken kunnen door hun definitie direct uit de definiërende functie worden afgeleid. Zie daarvoor onderstaande figuren waarin in rood de grafieken van de functies zijn getekend op het interval [-½p ; 2p]. De grafieken van de definiërende functies zijn blauw.

f (x) = sec(x) f (x) = cosec(x)
secans1 secans2

Duidelijk is dat beide functies een periode hebben van 2p.

terugMeetkundige eigenschap - Beweegt het punt A over de eenheidscirkel, dan is de cosinus van de hoek tussen OA en de positieve x-as gelijk aan de (van tekenvoorziene) afstand van A tot de y-as (zijnde de x-coördinaat van A). Zie definitie van de cosinus-functie op de pagina "Sinus, cosinus, ...".
We kunnen ook de waarde van de secans op de x-as aflezen.

secans3 In nevenstaande figuur is Q de projectie van het A op de x-as. Dan is OQ = cos(AOX).
Zij P het snijpunt van de raaklijn in A aan de eenheidscirkel.
In de rechthoekige driehoek OAP geldt dan:
OA2 = OQ · OP
of
1 = cos(AOP) · OP
OP is dan dus gelijk aan de secans van (AOP).

Klik hier >Animatie< voor een CabriJavapplet die dit illustreert.
De cosecans kan worden afgelezen worden op de y-as.
secans4 In nevenstaande figuur is Q de prjectie van A op de y-as. Nu is OQ = sin(AOX).
Is Y het snijpunt van de raaklijn in A aan de eenheidscirkel, dan is in de rechthoekige driehoek OAY:
OA2 = OQ · OY
of
1 = sin(AOX) · OY
OY is dan dus gelijk aan de cosecans van (AOX).

Klik hier >Animatie< voor een CabriJavapplet die dit illustreert.

terugVreemde woorden - In 'Vreemde woorden in de wiskunde' (Dr. E.J. Dijkerhuis, P. Noordhoff, 1948) vinden we:

Secans (sc. linea =  snijdende lijn; Lat. part. praes. van secare = snijden). De goniometrische functie secans ontleent haar naam aan de wijze, waarop het lijnstuk secans in de figuur van den goniometrische cirkel [dk: de eenheidscirkel] voorkomt, nl. op een lijn door het middelpunt. Mv. secanten.

Cosecans. Afkorting voor complementi secans = secans van het complement. Mv. cosecanten.

3. Gebuik van de functie h(x) = 1 / x terug

secans5 We kunnen beide functies ook opvatten als een samengestelde functie.
We laten dat hieronder alleen zien voor de functie f(x) = sec(x).

Zij h de functie gedefinieerd door h(x) = 1 / x.
Dan is f(x) = h( cos(x) ) = 1 / cos(x)

In de hiernaast staande figuur geldt:
OP = de grootte van hoek XOA (in radialen)
PC = cos(XOA)
OQ = PC
QR = 1 / OQ
PS = QR

Klik hier >Animatie< voor een CabriJavapplet die dit illustreert.

begin pagina
[secans.htm] laatste wijziging op: 04-05-07