De formule van Heron

0. Overzicht

Inleiding
Heron's bewijs
Twee andere bewijzen
3.1. Met incirkel en uitcirkel
3.2. Met goniometrie
Oppervlakte van een vierhoek (Brahmagupta)
Drie andere formules
Tenslotte, drie cirkels

Zie ook het artikel Meetkunde, en wat inductie (met oa. gebruik van de Formule van Heron). PDF-bestand (ca. 140 Kb / aug.2009)

1. Inleiding
Heron van Alexandrië (~10 - ~75, Egypte) schreef onder meer een driedelig werk, Metrica, waarin oppervlakten van driehoeken, vierhoeken, regelmatige veelhoeken, en inhouden van lichamen worden behandeld. Hij komt daarbij ook tot benaderingen van wortels.
In Metrica, I-8, geeft hij de afleiding van de naar hem genoemde formule voor de oppervlakte van een driehoek (uitgedrukt in de zijden van die driehoek):
V = Ö s(s - a)(s - b)(s - c)
Hierin staat s voor de halve omtrek van de driehoek (dus 2s = a + b + c).
Overigens is uit Arabische bronnen bekend, dat de formule aan Archimedes moet worden toegeschreven.

Als toepassing van de formule met wortelbenadering geeft Heron (Metrica, I-8; in een vertaling van Th. Heath, A History of Greek Mathematics, vol. II, pagina 324) voor a = 7, b = 8 en c = 9 (waarbij dus V = Ö720):

Since 720 has not its side rational, we can obtain its side within a very small difference as follows. Since the next succeeding square number is 729, which has 27 for its side, divide 720 by 27. This gives 26 2/3. Add 27 to this, making 53 2/3, and take half this or 26 5/6. The side of 720 will therefore be very nearly 26 5/6. In fact, if we multiply 26 5/6 by itself, the product is 720 1/36, so the difference in the square is 1/36.
If we desire to make the difference smaller still than 1/36, we shall take 720 1/36 instead of 729 (or rather we should take 26 5/6 instead of 27), and by proceeding in the same way we shall find the resulting difference much less than 1/36.

2. Heron's bewijs
We geven hieronder Heron's bewijs van 'zijn' formule, waarbij we de tekst van Heath volgen, daarbij echter gebruik makend van een modernere notatie (bijvoorbeeld: V(PQR) = oppervlakte van driehoek PQR) en ietwat moderner woordgebruik.

figuur 1

Laten de zijden van de driehoek ABC in lengte gegeven zijn (zie figuur 1).
Teken de incirkel DEF met O als incentrum.
Dan is
    BC.OD = 2V(BOC)
    CA.OE = 2V(COA)
    AB.OF = 2V(AOB)
Optelling geeft dan p.OD = 2V(ABC), waarin p de omtrek is.
Verleng nu CB naar H, zodat BH = AF.
Dan hebben we, omdat AE = AF, BF = BD en CE = CD,
    CH = ½p = s
Daarom is CH.OD = V(ABC), of ook
    rs = V(ABC)
waarbij r de straal is van de incirkel.

Teken nu OL loodrecht op OC en BL loodrecht op BC.
Nu is COBL een koordenvierhoek [dk: Thales-cirkel op CL].
Gevolg: hoek COB + hoek CLB = 180°.
Maar ook hoek COB + hoek AOF = 180°, omdat OA, OB, OC bissectrices zijn van de hoeken rond O.
Gevolg: hoek AOF = hoek CLB.
De rechthoekige driehoeken AOF en CLB zijn dus gelijkvormig, waaruit
    BC : BL = FA : FO = BH : OD
Waaruit weer
    BC : BH = BL : OD = BK : DK [dk: immers OD // BL].
Dus
    (BC + BH) : BH = (BK + DK) : DK of
    CH : BH = BD : DK
Hieruit volgt weer [dk: door vermenigvuldiging van de elementen in het linker en rechter lid]:
    CH² : (CH.BH) = (CD.BD) : (CD.DK).
Nu is CD.DK = r², omdat driehoek ODC rechthoekig is, en CH = s, zodat
    r²s² = CH.BH.BD.CD
In onze moderne notatie, met V(ABC) = rs (zie boven):
    V² = s(s-a)(s-b)(s-c).
Zodat
    V(ABC) = Ö s(s - a)(s - b)(s - c)
¨

3. Twee andere bewijzen
3.1. Incirkel en uitcirkel
Het onderstaande bewijs, weliswaar ook gebaseerd op gelijkvormige driehoeken, verloopt iets eenvoudiger dan het bewijs van Heron.

figuur 2

Wederom is (in figuur 2) de incirkel A'B"C' getekend, met centrum I. Ook is de uitcirkel aan de zijde a getekend; middelpunt I_a en straal r_a.
Omdat de raaklijnstukken uit A, B, C aan de incirkel gelijk zijn, hebben we:
   AB' + BC' + CB' = s.
Dus
   BC' = s - b en (evenzo) ook AC' = s - a.
Op analoge wijze vinden we bij de uitcirkel:
   AC" = s en BC" = s - c
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken AC'I en AC"I_a leiden we af:
IC' : I_aC" = AC' : AC"

Of
    r : r_a = (s - a) : s ...... (1)
De gelijkvormigheid van IC'B en BC"I_a levert"
    IC' : BC" = BC' : I_aC"
of
    r : (s - c) = (s - b) : r_a ...... (2)
Vermenigvuldiging van de leden van (1) en (2) geeft dan:
    r² : r_a(s - c) = (s - a)(s - b) : sr_a
Zodat
    r²s = (s - a)(s - b)(s - c)
waauit we vinden
    r²s² = s(s-a)(s-b)(s-c)
en dus met V(ABC) = rs (zie Heron's bewijs)
    V(ABC) = Ö s(s - a)(s - b)(s - c)
¨

3.2. Met goniometrie
Bekend is dat voor een willkeurige driehoek ABC geldt
V(ABC) = ½absinC
en
c² = a² + b² - 2ab cosC (zie Cosinusregel)
(we geven de hoeken van de driehoek even aan met hoofdletters).
Eliminatie van C uit beide identiteiten met sin²C + cos²C = 1 geeft dan:

heron_f1

Waaruit dus volgt
V(ABC) = Ö s(s - a)(s - b)(s - c)
¨

Opmerkingen
[1]
Het formuledeel hierboven
    16V² + (a² + b²-c²)² = 4a²b²
geeft voor driehoek die in C rechthoekig is, samen met de oppervlakte waarvoor geldt dat V = ½ab:
    4a²b² + (a² + b²-c²)² = 4a²b²
waaruit dus volgt dat
    a² + b² = c²
(Stelling van Pythagoras).
[2]
De formule van Heron kan ook worden gevonden door de driehoek op te vatten als een "ontaarde" koordenvierhoek met een zijde met lengte 0.
Zie daarvoor paragraaf 4.
[einde Opmerking]

4. Oppervlakte van een vierhoek
Vermoedelijk door Brahmagupta (598-665, India) is de volgende eigenschap ontdekt:

Voor de oppervlakte V van een koordenvierhoek met zijden a, b, c, d geldt:
V² = (s - a)(s - b)(s - c)(s - d)
met 2s = a + b + c + d.
We gaan uit van de koordenvierhoek met oa. de hoekpunten E en F en zijden a, b, c, d (zie figuur 3).

figuur 3

Omdat de hoeken E en F elkaars supplement zijn, geldt
cos E = - cos F
Volgens de cosinusregel is nu
   n² = a² + b² - 2ab cos E
   n² = c² + d² - 2cd cos F
waaruit we vinden:
   2(ab + cd) cos E = a² + b² - c² - d² ...... (1)
Voor de oppervlakte V van de koordenvierhoek hebben we:
   V = ½ab sin E + ½cd sin F = ½(ab + cd) sin E,
zodat
   2(ab + cd) sin E = 4V ...... (2)

Kwadratering van (1) en (2), gevolgd door optelling, levert dan
    4(ab + cd)² = (a² + b² - c² - d²)² + 16V²
of
    16V²= (2ab + 2cd)² - (a² + b² - c² - d²)²
We herleiden nu verder:
     imagesheron_f2
waaruit dus volgt
    V² = (s - a)(s - b)(s - c)(s - d)
¨

Opmerking
Voor d = 0 hebben we dus de formule van Heron.
[einde Opmerking]

5. Drie andere formules

[1]
Uit V² = s(s-a)(s-b)(s-c) = r²s² volgt onmiddellijk
r² = (V/s)² = (s-a)(s-b)(s-c)/s

[2]
We kunnen ook een middelpunt van een uitcirkel gebruiken om de oppervlakte van ABC te berekenen.

V(ABC)	= V(ABI_a) + V(ACI_a) - V(BCI_a)
	= ½cr_a + ½br_a - ½ar_a = ½(c+b-a)r_a

Zodat
   V(ABC) = ½(s-a)r_a
Analoog geldt dus ook
   V(ABC) = ½(s-b)r_b
   V(ABC) = ½(s-c)r_c

[3]
We kunnen de stralen van de in- (r), uit- (r_a, r_b, r_c) en omgeschreven cirkel (R) van een driehoek met elkaar in verband brengen.

Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken ABD en AKC ("Thales-driehoek") vinden we:
   AB : AK = AD : AC
zodat
   AD = (bc)/(2R)
Voor V = BC.AD/2 hebben we dan
   V = (abc)/4R
of

4VR	= abc = (herschrijven)
	= -(s-a)(s-b)(s-c) + s(s-b)(s-c) + s(s-a)(s-c) + s(s-a)(s-b)
	= -V²/s + V²/(s-a) + V²/(s-b) + V²/(s-c)
	=V(-r + ra + rb + rc)

Dus:
4R = (r_a + r_b + r_c - r)

6. Tenslotte, drie cirkels
Een eenvoudige uitdrukking van de formule van Heron kan worden verkregen, als we gebruik maken van de stralen van de drie cirkels (met de hoekpunten als middelpunt) die door de raakpunten van de incirkel aan de zijden gaan (zie figuur 4).

figuur 4

De stralen van deze cirkels zijn opvolgend s_a, s_b, s_c.
We hebben nu
a = s_b + s_c
b = s_c + s_a
c = s_a + s_b
Nu is s =½(a + b + c) = s_a + s_b + s_c
en verder
s - a = s_a, s - b = s_b, s - c = s_c
Zodat
V² = s_as_bs_c(s_a+s_b+s_c)

Opmerking
Bovenstaande configuratie, de drie cirkels door de raakpunten van de incirkel, bepalen de beide zogenoemde Soddy-cirkels (deze zijn eveneens getekend in figuur 4). De Soddy-cirkels raken de "hoekpunts"-cirkels in- en uitwendig.
Zie ook de pagina "Soddy-cirkels".
[einde Opmerking]

[heron.html] laatste wijziging op: 21-07-10 (07-04-2005)