Cosinusregel (2)
Twee bewijzen ][ Cosinusregel (1) | Sinusregel | Analyse | Meetkunde
- Bewijs op basis van de stelling van Ptolemaeus
- Bewijs gebaseerd op de macht van een punt tov. een cirkel
1. Bewijs op basis van
de Stelling van Ptolemaeus
De stelling van Ptolemaeus luidt:
In een koordenvierhoek is het product van de diagonalen gelijk aan de som van de
producten van de overstaande zijden.
We gaan uit van een bijzondere koordenvierhoek, nl. een gelijkbenig trapezium.
![]() |
ABCD is een gelijkbenig trapezium, met opvolgend zijden c, a, d, a,
waarbij verder c > d. Verder is AC = BD = b. Zoals bekend is een gelijkbenig trapezium een koordenvierhoek. Nu is ook: AE = AD cos B = a cos B en dus ook d = c - 2a cos B Dus geldt volgens de stelling van Ptolemaeus: b·b = a·a+ c·d = a·a + c(c - 2a cos B) of b2 = a2 + c2 - 2ac cos B |
2. Bewijs gebaseerd op
de macht van een punt tov. een cirkel
Zie de pagina "Macht van een punt tov. een cirkel"
![]() |
Uitgaande van een willekeurige driehoek ABC construeren we de cirkel (B,
BC). CB snijdt die cirkel in D en CA snijdt die cirkel in E. AB snijdt de cirkel in de punten F, G. Dan is cos C = CE / CD, zodat CE = 2a cos C. Voor de macht van A tov. de cirkel hebben we: AF · AG = AC · AE of (a - c)(a + c) = b(2a cos C - b) a2 - c2 = 2ab cos C - b2 zodat c2 = a2 + b2 - 2ab cos C Opmerking |
[p: cosinusregel.htm] laatste wijziging op: 20-10-2008 (27-12-2004)