Kijkhoek vanaf een cirkel

Probleemstelling | Oplossing | Bewijs | Naschrift ][ Inversie | Meetkunde

Zie ook het Cabri-werkblad "Kijkhoek".

Meetkundige probleemstelling

figuur 1

Gegeven zijn een lijnstuk RS en een cirkel K.
Op K ligt een punt A.
Construeer de posities van A op K, waarvoor de "kijkhoek" RAS maximaal en minimaal is.

Opmerking
Op het Cabri-werkblad "Kijkhoek" wordt hetzelfde probleem behandeld in het geval A dat op een rechte lijn ligt.
[einde Opmerking]

Klik hier voor een CabriJavapplet bij deze probleemstelling.

Oplossing

figuur 2

Het probleem is een algemenisering van het geval waarbij het punt A op een rechte lijn ligt. Immers een rechte lijn is een cirkel met oneindig grote straal.
En hierin ligt dan tevens de oplossing.
Via inversie ten opzichte van een geschikt gekozen cirkel kan K worden afgebeeld op een rechte lijn.
De maximale kijkhoek wordt in dat geval gevonden als het punt A het raakpunt is op de rechte lijn (K') van de cirkel door R en S (zie figuur 2, waarin l = K').

Een gelukkige, maar noodzakelijke, bijkomstigheid is dat relaties tussen hoeken invariant zijn bij inversie.

figuur 3

In nevenstaande figuur zijn de eerste transformaties uitgevoerd.
O (gelegen op K) is middelpunt van de inversiecirkel (met willkeurige straal). R' en S' zijn de beelden van R en S bij deze inversie ; K' (een rechte lijn) is het beeld van K.
T' is het snijpunt van K' en de lijn R'S'.

We moeten nu de cirkel door R' en S' construeren die raakt aan de lijn K' (zie daarvoor het Cabri-werkblad "Kijkhoek" of de pagina "Maximale kijkhoek").
Maar eigenlijk gaat het hier alleen om het raakpunt van die cirkel op K'!

figuur 4

In figuur 4 is deze constructie uitgevoerd.

Allereerst is de cirkel met middellijn T'S' getekend.
De lijn in R' loodrecht op R'S' snijdt deze cirkel (oa.) in het punt U.
In driehoek T'US' (die rechthoekig is in U) geldt nu:
T'R' x T'S' = T'U²
T'U is dus de lengte van het raaklijnstuk uit T' aan de gezochte cirkel.
We vinden dus twee punten B₁' en B₂' op K' die als raakpunt dienen.
Deze punten zijn met de cirkel (T', T'U) geconstrueerd.

figuur 5

Wanneer we "teruginverteren" krijgen we de punten B₁ en B₂ (gelegen op K) die de gezochte punten zijn.

Zie figuur 5, waarin:
B₁ is het punt met minimale kijkhoek;
B₂ is het punt met maximale kijkhoek.

Klik hier voor een CabriJavapplet.

Dat in B₁ een minimum, en in B₂ een maximum waarde wordt gevonden, "zien" we uit de tekening. Een bewijs daarvoor staat hieronder.

Bewijs

figuur 6

De punten B₁' en B₂' zijn de raakpunten op de lijn K' van cirkels door R' en S'.
Bij "teruginversie" gaan die cirkels over in cirkels (met middelpunten M₁ en M₂) door R en S die in B₁ en B₂ raken aan K.
In B₂ raakt cirkel M₂ uitwendig aan K; in B₁ raakt cirkel M₁ inwendig aan K.
Voor het punt A op K hebben we dan, kijkend naar bogen op cirkel M₂:

hoek RAS =	½(bg VS - bg RW)
	< ½bg RVS = hoek RB₂S

Zodat hoek RAS < hoek RB₂S.
Analoog voor het minimum in B₁.¨

Naschrift
Op de pagina "Beweging en Optimalisering" van de website van Henk Pfaltzgraff staat een programma voor de TI83 (grafische rekenmachine) waarmee berekeningen bij dit probleem kunnen worden uitgevoerd.

[maxhoekcirk.htm] laatste wijziging op: 16-03-01