Bijzondere punten van de driehoek (Kimberling-codering)
Overzicht | TCCT | Download ][ Normaalcoördinaten | Meetkunde
Overzicht 
Onderstaande links verwijzen naar een pagina met een CabriJavapplet 
die
betrekking heeft op het betreffende punt.
Indien zo'n pagina voor de eerste keer geladen wordt, vraagt dat daardoor iets meer tijd dan bij pagina's zonder applets (N.B. De browser dient over Java-mogelijkheden te beschikken).
Op de gelinkte pagina zijn ook de normaalcoördinaten (trilineaire coördinaten) van het punt vermeld. Ook staat er een enkele verwijzing naar andere pagina's op deze website.
TCCT
In [1] en [2] zijn oa. een groot aantal (400 in [1],
en in [2] meer dan 1100!) bijzondere punten van de driehoek gecodeerd als X( i ) opgenomen.
In het overzicht hierboven staan de X-punten
die elders op deze website behandeld zijn (zie daarvoor evt. ook de
pagina "Meetkunde").
De door Kimberling behandelde punten - hij noemt ze centra (Eng. centers)
- zijn in die zin bijzonder, dat de normaalcoördinaten ervan voldoen aan zekere algebraïsche
eigenschappen (zie Definitie).
| Definitie van een c e n t r u m Stel een punt P heeft als normaalcoördinaten f(a, b, c) : f(b, c, a) : f(c, a, b) waarin f een funnctie is die voldoet aan: (1) f is homogeen in a, b ,c; dwz. er bestaat een niet negatief reeel getal h zodat f(ta, tb, tc) = th · f(a, b ,c) voor alle (a, b, c) in het domein van f; (2) f is symmetrisch in b en c; dwz. f(a, c, b) = f(a, b, c). Dan is P is een driehoekscentrum, of korter een centrum. |
Voorbeelden
(a)
Het punt P = 1/(b - c) : 1/(c - a) : 1/(a - b) is een centrum, immers
P = f(A,B,C) : f(B,C,A) : f( C,A,B) waarbij f(A,B,C) =
(sin C - sin A)(sin B - sin A)
(b)
- 1 : 1 : 1
(incentrum, middelpunt ingeschreven cirkel),
- cosec A : cosec B : cosec
C (zwaartepunt),
- cos A : cos B : cos
C (omcentrum; middelpunt omgeschreven cirkel),
- sec A : sec B : sec
C (hoogtepunt),
- cosec(A + p/3)
: cosec(B + p/3) : cosec(C + p/3)
(1e Fermatpunt)
[einde Voorbeelden]
| Definitie Een centrum heet hoofdcentrum als de normaalcoördinaten van de vorm f(A) : f(B) : f(C) zijn. |
Voorbeeld
De vijf centra hierboven, onder (b), zijn hoofdcentra.
[einde Voorbeeld]
Referenties
| [1] | CLARK KIMBERLING: Triangle Centers and Central Triangles (TCCT), Utilitas Mathematical Publishing Inc. (Winnipeg, Canada, 1998) | |
| [2] | CLARK KIMBERLING: Encyclopedia of Triangle Centers - ETC (website). |
Opmerking
Op de website TTW (Tot
Triangles Web) van Quim Castellsaguer (XTEC - Catalunya,
Spanje) wordt eveneens een aantal bijzondere punten van (en figuren bij) de
driehoek behandeld.
[einde Opmerking]
Download
De Cabri-figuren die gebruikt zijn bij de applets in het bovenstaand overzicht, kunnen via
deze website in twee bestanden worden gedownload.
Klik hier om het downloaden te starten van de
applets uit Tabel 1 (ZIP-bestand, ca. 60kB).
Klik hier om het
downloaden te starten van de applets uit Tabel 2 (ZIP-bestand, ca.
5Kb).
[kimbindex.htm] laatste wijziging op: 29-06-06