De Vensters van Viviani

Vincenzo Viviani (1622-1703), leerling van Toricelli en de laatste leerling van Galileï, stelde in 1692 het volgende probleem:
"Maak vier gelijkvormige vensters in een halve bol, zodanig dat het overblijvende bolstuk kwadreerbaar is." (Aenigma geometricum de miro opificio Testudinis Quadrabilis Hemisphaericae)
Kwadreerbaar betekent dat je de oppervlakte bij gegeven straal van de halve bol met passer en liniaal moet kunnen construeren.
Het is een pseudo-architectonisch probleem: de oppervlaktebepaling van een koepelgewelf.

Tekening van het koepelgewelf van de
San Fedele in Milaan

Viviani loste het probleem op door de halve bol te doorsnijden met twee halve cilinders. Het oppervlaktestuk boven de cilinders noemde hij Vela Quadrabile Fiorentina.
In Rhino heet deze bewerking: Boolean difference.
Hieronder is een en ander (deels) weergegeven met behulp van een gehele bol.
De gemeenschappelijke (snij)kromme is een ruimtekromme in de vorm van twee 8-en (gelegen op de bol). Zo'n achtje heet "kromme van Viviani".

Er geldt:

Oppervlakte "vela"
=
Oppervlakte cilindersloten binnen de bol
=
4R²

De oppervlakte is dus onafhankelijk van p.

Overigens heeft de ruimtekromme (een van de 8-en) veel te maken met satellietbanen die gezien worden vanuit een vast punt van de aarde (Aad Goddijn: Een Ode aan de Cirkel, NWD 2002/Freudenthal Instituut, Utrecht).

[viviani.htm] laatste wijziging op: 27-12-04