Een maximaliseringsprobleem

Probleem | Oplossing | Applet  ][  Analyse

Probleem - De inhoud van een doosje begin pagina
Van een vierkant met zijde a wordt aan elk hoekpunt eenzelfde kleiner vierkant afgesneden (zie figuur 1).
De lengte van de zijde van zo'n kleiner vierkant is x.
Van het overblijvende deel ontstaat door vouwen een doosje in de vorm van een balk (recht blok).
Voor welke waarde van x is de inhoud van de balk maximaal?

figuur 1 maxdoos1

Oplossing begin pagina
We beschouwen de functie f die voor elke x de inhoud van de balk bepaalt.
De lengte van de zijde van het grondvlak is: a - 2x.
De inhoud I van de balk is dan: I = x · (a - 2x)2, zodat
   f(x) = x(a - 2x)2
Het domein van de functie is [0; ½a].
Voor de afgeleide functie f ' van f  hebben we (met de productregel):

  f '(x) =  1 · (a - 2x)2 + x · 2(a - 2x) · (-2) =
 (a - 2x)(a - 2x - 4x) =
 2(a - 2x)(a - 6x)

Het tekenschema van f ' is

f '(x) + ++++++ 0 ---------- 0
x 0 1/6a 1/2a

We zien, dat voor x = 1/6a een maximum wordt bereikt.
Dit maximum is gelijk aan: f (1/6a) = 1/6a (a - 1/3a)2 = 1/6a 4/9a2 = 2/27a3.

Applet begin pagina
Voor (bijvoorbeeld) a = 3,6 vinden we Imax = 2/27(3,6)3 = 3,456.

figuur 2 maxdoos2 Figuur 2 is gegenereerd door een CabriJava applet.
Links in de figuur staat de grafiek van de hierboven beschreven functie f met  f(x) = I.

Klik hier CanriJava Applet voor het uitvoeren van deze applet.

begin pagina

[maxdoos.htm] laatste wijziging op: 12-02-01