De functie ax en het getal e

De functie a^x  |  Benaderingen  |  Raking  |  De functie e^x  |  Richtingscoëfficiënt  |  Gebruik van (a^x)'
[ DK & Analyse  |  DK & Maple  ]

De waarde van e, het getal van Euler - een worksheet in Maple V, release 4
maart 1998

1. De expontiële functie f(x) = a^x
We bekijken eerst de grafiek van de functie f(x) = a^x voor verschillende waarden van a.

f(x) = ax voor a=1,2,3,4 g(x) = 1 + x

Daarnaast beschouwen we telkens de grafiek van de functie g(x) = 1 + x.

Allereerst berekenen we de waarde van a indien de beide grafieken elkaar snijden in de punten (0,0) en (1,2).
Omdat de beide grafieken elkaar voor elke waarde van a in het punt (0,0) snijden, moeten we oplossen de vergelijking:
   a^x = 1 + x
voor x=1.
Dit geeft onmiddellijk a = 2.
De grafieken van 2^x en 1 + x kunnen natuurlijk in dezelfde figuur worden getekend.

> restart;
> plot({2^x,1+x},x=-2..2);

f(x) = 2x g(x) = 1 + x

2. Benaderingen
Snijding voor x=1/2
We trachten vervolgens de waarde van a te bepalen waarvoor de beide grafieken elkaar, naast (0,0), snijden in (1/2,1+1/2).
Daartoe dienen we de vergelijking
   a^½ = 1 + ½
op te lossen.
Dit kan nog (net) met de hand, door beide kanten van de vergelijking te kwadrateren. Dit geeft

  a = (1 + ½)² of a = 9/4.

Maar we kunnen natuurlijk ook gebruik maken van Maple zelf.

> fsolve(a^(1/2)=1+1/2,{a});assign(");

{a = 2.250000000}

> plot({2^x,a^x,1+x}, x=-2..2,y=-1..3);

f1(x) = 2x f2(x) = 2.25x g(x) = 1 + x

Snijding voor x=1/4
Vervolgens berekenen we de waarde van a als de grafieken elkaar snijden in het punt (1/4, 1+1/4).

> a:='a':
> fsolve(a^(1/4)=1+1/4,{a}); assign(");

{a = 2.441406250}

Snijding voor x=1/10
Tenslotte wordt de waarde van a berekend als de grafieken elkaar snijden in het punt met x = 1/10.

> a:='a':
> fsolve(a^(1/10)=1+1/10,{a});assign(");

{a = 2.593742460}

3. Op weg naar raking in het punt (0,1)
We proberen nu het tweede snijpunt in de buurt van het punt (0, 1) te brengen, waardoor we de waarde van a kunnen vinden waarvoor de grafieken van a^x en 1 + x in het punt (0, 1) aan elkaar raken.
We laten nu Maple de waarde van a berekenen voor x = 0.01.

> a:='a':
> fsolve(a^(1/100)=1+1/100, {a}): assign(");
> evalf(a);

2.704813829

Limiet voor x naderend naar 0
Uit a^x = 1 + x volgt algemeen a = (1 + x)^1/x.
We berekenen nu met Maple de waarde van a als x nadert tot 0; dus (in Maple-notatie):

   limit((1 + x)^(1/x), x = 0)

De uitkomst van deze limiet is het getal e, het getal van Euler.

> Limit((1+x)^(1/x),x=0):"=value(");

lim   (1 + x)1/x = e
x -> 0

De exponentiële functie met dit grondtal, e^x, wordt in Maple aangegeven met exp(x). De waarde van het getal e kunnen we dus (we doen het in 14 decimalen) berekenen met

> evalf(exp(1),15);

2.71828182845905

Opmerking
Indien de serie getallen 1/x in bovenstaande limiet wordt vervangen door n, dan krijgen we (ook weer in Maple-notatie)

   limit((1+(1/n))^n, n= infinity)

Deze limiet kunnen we natuurlijk ook met Maple berekenen:

> Limit((1+1/n)^n,n=infinity): "=value(");

lim   (1 + 1/n)n = e
n -> ¥

4. De grafiek van e^x
In onderstaande figuur zien we nu de grafiek van de exponentiele functie e^x en van 1 + x.

> plot({exp(x),1+x}, x = -2..2);

f(x) = ex g(x) = 1 + x

We vergroten de zaak nog eens uit voor waarden van x dicht in de buurt van 0. We zien dan dat de grafieken elkaar dan nauwelijks ontlopen.
De grafiek van 1 + x is 'dus' de raaklijn aan de grafiek van e^x.

> plot({exp(x),1+x}, x = -0.1..0.1);

f(x) = ex g(x) = 1 + x

5. De richtingscoefficient aan de grafiek van a^x in x = 0
We nemen allereerst a = 2.

Zoals bekend is uit de differentiaalrekening kunnen we de afgeleide van a^x in x = 0, de richtingscoëfficiënt, benaderen via het differentiequotient.
Daartoe nemen voor h een kleine waarde, zeg h = 0.0001, en berekenen de uitkomst van
(2^h-1) / h

> h:=0.0001:
> deltay:=(2^h-1)/h;

deltay := .6931700000

We nemen vervolgens a = 3 en berekenen opnieuw het differentiequotient, bij dezelfde waarde van h:

> deltay:=(3^h-1)/h;

deltay := 1.098670000

We zullen nu de waarde van a zo bepalen dat deltay = 1, opnieuw bij dezelfde waarde van h.
We moeten dus de vergelijking

   (a^h-1) / h = 1 of  a^h - 1 = h

oplossen. Dit kunnen we direct in Maple doen.

> a:='a':
> fsolve(a^h-1=h, {a}); assign(");

{a = 2.718145927}

We vergelijken deze waarde van a met de waarde van e.

> evalf(abs(a-exp(1)));

.000135901

We zien dat de waarde van enigzins afwijkt van de waarde van e. Dit wordt natuurlijk veroorzaakt door het gebruik van de benadering van het differentiaalquotient via het differentiequotient.

We kunnen dus stellen, dat de richtingscoefficient van de raaklijn aan de functie e^x in x = 0 gelijk is aan 1.

6. Gebruik van de afgeleide van a^x
In hetgeen volgt gebruiken we de definitie van afgeleide bij het berekenen van de de richtingscoefficient in x = 0 aan de grafiek van a^x.
Deze definitie luidt algemeen voor x = 0 (in Maple-notatie):

   diff(a^x ,x) = limit( (a^h-1) / h, h=0)

En dus:

> a:='a': h:='h':
> Limit((a^h-1)/h, h=0):"=value(");

      ah - 1
lim   ------ = ln(a)
h -> 0  h

We zien dat de waarde van bovenstaande limiet door Maple wordt weergegeven met ln(a).
Deze uitkomst kunnen we door middel van opeenvolgende benaderingen aannemelijk maken (toelichten).

We kiezen daartoe opnieuw a = 2 en a = 3 en berekenen beide limieten:.

> Limit((3^h-1)/h, h=0): "=evalf(");

We moeten nu het getal a zo bepalen, dat de uitkomst van de limiet gelijk is aan 1.
Hieronder staan enkele van die benaderingen.

> a:=2.8:
> Limit((a^h-1)/h, h=0): "=evalf(");

Nu is duidelijk dat de gezochte waarde van a tussen 2.7 en 2.8 moet liggen.
We benaderen dus opnieuw.

> a:=2.72:
> Limit((a^h-1)/h, h=0): "=evalf(");

> a:=2.719:
> Limit((a^h-1)/h, h=0): "=evalf(");

En tenslotte nog:

> a:=2.7183:
> Limit((a^h-1)/h, h=0): "=evalf(");

We zien dus dat hiermee een redelijke benadering van het getal e kan worden verkregen.
Zoals we hierboven hebben gezien kunnen de uitkomsten van de limiet worden opgevat als functiewaarden van de functie

   y = ln(x).

Voor de laatste twee waarden van a berekenen we die functiewaarden direct:

> ln(2.7182);
> ln(2.7183);

.9999698965
1.000006685

We hebben dus gevonden:

   2.7182 < e < 2.7183

Tenslotte nog eens e in 40 decimalen:

> evalf(exp(1), 41);

2.7182818284590452353602874713526624977572

[expon.htm] laatste wijziging op: 24-04-1999