Gegeneraliseerde Stelling van Desargues

De Stelling | Gevolgen  ][  Stelling van Desargues | Meetkunde


1. De Stelling terug

Stelling
A1A2A3 (driehoek A) en B1B2B3 (driehoek B) zijn perspectief met punt S als perspector.
(i,j,k) is een permutatie van (1,2,3) ; Pij = AiAk /\ BjBk ; Ck = PikPki /\ PjkPkj
Dan is driehoek C1C2C3 (driehoek C) perspectief met driehoek A en met driehoek B, met S als perspector.
(Gegeneraliseerde stelling van Desargues)

Bewijs:

desarg1 Zijn Sk = AiAj /\ BiBj (i,j,k = 1,2,3).
De punten Sk zijn dan volgens de Stelling van Desargues collineair.
Beschouw nu S1P21P12 en S3P23P32.
Deze driehoeken zijn nu ook perspectief met S2 als perspector, immers:
P21P23 = B1B3, P12P32 = A1A3 en deze lijnen gaan door S2 (enz.).
De snijpunten van de overeenkomstige zijlijnen van deze driehoeken zijn dus collineair (opnieuw volgens Desargues).
A2 = S1P21 /\ S3P23
B2 = S1P12 /\ S3P32
C2 = P21P12 /\ P23P32
Het punt C2 ligt dus op de lijn A2B2.
Evenzo ligt C1 op de lijn A1B1 en C3 op de lijn A3B3.
Dus driehoek C is perspectief met driehoek A en met driehoek B (met het punt S als perspector).

2. Gevolgen terug
[volgt]


begin pagina
[desargues.htm] laatste wijziging op: 02-10-02