Tweedegraads vergelijkingen

 

De algemene gedaante van een tweedegraads vergelijking (ook wel vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking genoemd) is:

 

$a{x}^2+bx+c=0$

 

(Hierin is uiteraard a ¹ 0.)

 

Oplossen

Een methode van oplossing van zo'n vergelijking (het berekenen van de onbekende x) is:

 

1) vermenigvuldigen met 4a (opdat de eerste term in ieder geval een kwadraat wordt, en de tweede coëfficiënt deelbaar door 2):

$4a^2{x}^2+4abx+4ac=0$

2) aanvullen van de eerste twee termen tot een volledig kwadraat:

$4a^2{x}^2+4abx+\underset{¯}{b^2}+4ac=\underset{¯}{b^2}$

3) kwadraat afsplitsen:

$\underset{¯}{4a^2{x}^2+4abx+b^2}+4ac=b^2$

 

${(2ax+b)}^2=b^2-4ac$

4) worteltrekken (aan beide kanten van het gelijkteken):

$2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}$

(denk om het plusmin-teken!)

5) de onbekende variabele x afzonderen en vervolgens delen door 2a:

$\begin{array}{c}2ax=-b\pm \sqrt{b^2-4ac}\\ \\ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$

 

De formule $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ noemen we vaak de abc-formule.

 

Bijzonderheden

1.      In de stappen 1 en 5 wordt gebruik gemaakt van het feit dat a ¹ 0 is.

2.      In stap 4 is het noodzakelijk, dat $b^2-4ac\ge 0$ is.
Het getal $D=b^2-4ac$ wordt de discriminant van de tweedegraads vergelijking genoemd.
Een voorwaarde voor de oplossing van een tweedegraads vergelijking is dus dat D ³ 0.

3.      Is D < 0 dan heeft de tweedegraads vergelijking geen oplossingen.

Is D = 0 dan heeft de vergelijking precies één oplossing (cq. twee gelijke oplossingen), nl.

$x=\frac{-b}{2a}$

Is D > 0 dan heeft de vergelijking twee verschillende oplossingen (wortels), nl.

$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$

 

Bijzondere gevallen

De bijzondere gevallen b = 0 en/of c = 0 volgen direct uit de vergelijking (of uit de abc-formule):

 

b = 0	- mits −4ac > 0 (dus a en c hebben tegengesteld teken): $x=\frac{\pm \sqrt{-4ac}}{2a}=\frac{\pm \sqrt{-4ac}}{\sqrt{4a^2}}=\pm \sqrt{\frac{-c}{a}}$ - en indien ook c = 0: x = 0 (dubbel)
c = 0	$x=\mathrm{0,}x=\frac{-b}{a}$

 

Eigenschappen van de wortels

Uit de het bovenstaande volgt voor de (reële) wortels x₁ en x₂ van een vierkantsvergelijking:

- de som van de wortels  : $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$

- het product van de wortels     : $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

 

Voorbeelden

Voorbeeld 1. We lossen de vergelijking $3x^2-2x-5=0$ op via het 'stappenplan'.

1) vermenigvuldigen met 3: $9x^2-6x-15=0$

2) aanvullen tot een kwadraat: $9x^2-6x+1-15=1$

3) kwadraat afsplitsen: ${(3x-1)}^2=16$

4) worteltrekken: $3x-1=\pm 4$

5) berekenen van x: $3x=1\pm 4$

Zodat we als oplossingen vinden: $x=\frac{1+4}{3}=\frac{5}{3},x=\frac{1-4}{3}=-1$.

Voorbeeld 2. We lossen de vergelijking $3x^2-2x-5=0$ op via de abc-formule: a = 3, b = -2, c = -5.

D = 4 + 60 = 64, zodat

$x=\frac{2\pm \sqrt{64}}{6}=\frac{2\pm 8}{6}\Rightarrow x=\frac{5}{3},x=-1$.

 

Voorbeeld 3. Gegeven de vergelijking $5x^2-6x+1=0$. We lossen hier weer op met de abc-formule, waarbij a = 5, b = -6, c = 1.

Hieruit vinden we $D={(-6)}^2-4\cdot 5\cdot 1=36-20=16$.

Dan is: $x=\frac{6\pm \sqrt{16}}{10}=\frac{6\pm 4}{10}\Rightarrow x=\mathrm{1,}x=\frac{1}{5}$.