Inleiding algebra
1. Variabelen
Een variabele is een symbool (of een rijtje symbolen, zoals een woord)
waarmee een getal wordt aangeduid: "de variabele heeft de waarde 3". Meestal
gebruiken we voor variabelen letters uit het laatste deel van het alfabet: u, x,
y, z, t.
Voorbeeld
We kunnen zeggen dat de lengte van de zijde van een een vierkant gelijk is s
in plaats van te spreken over de werkelijke grootte van die zijde. We kunnen deze s
dan gebruiken in formules. De omtrek van het vierkant is in dit geval 4 × s, en
de oppervlakte is dan s2.
[]
Bij het werken met variabelen is het vaak handig een letter te gebruiken die verband
houdt met de waarbij waarvoor hij gebruikt wordt.
Voorbeeld
n is het aantal mensen in een voetbal stadion;
t (van tijd) is het aantal seconden dat sinds het begin van de voetbalwedstrijd
verstreken is;
a (van afstand) is de afstand tussen mijn huis en het stadion
2. Uitdrukkingen
Een uitdrukking is een geheel van termen bestaande uit getallen, variabelen,
bewerkingstekens (en andere wiskundige tekens (zoals haakjes):
+ , - , × , : . Hieronder
staan enkele voorbeelden van uitdrukkingen
Voorbeeld 1
2
x
3 + 7
2 × y + 5
2 + 6 × (4 - 2)
z + 3 × (8 - z)
Voorbeeld 2
Bert weegt 70 kilo en Cor weegt k kilo. Geef een uitdrukking voor hun gezamenlijk
gewicht.
Hun gezamenlijk gewicht is nu 70 + k.
Voorbeeld 3
Op een snelweg rijdt een auto met een snelheid van 85 km/uur. Geef een uitdrukking voor de
afstand die de auto na h uur heeft afgelegd.
De afgelegde afstand is 85 × h
Voorbeeld 4
In een zwembad zit al 2000 liter water. Er wordt water bijgevuld met een snelheid van 100
leter per minuut. Geef een uitdrukking voor de hoeveelheid water in het zwembad als het
bijvullen m minuten heeft geduurd.
De hoeveelheid water die wwordt toegevoegd is 100 × m.
De totale hoeveelheid is dus 2000 + 100 × m
[]
De waarde van een uitdrukking kan worden bepaald door de variabele(n) in die uitdrukking te vervangen (dit heet subsitueren) door een getal (de waarde van de variabele) en daarna, indien nodig, te vereenvoudigen.
Voorbeeld 4
Bereken de waarde van de uitdrukking 4 × z + 12 als z = 15.
Of ook wel:
Bereken 4 × z + 12 voor z = 15.
We vervangen nu z door 15 op elke plaats waar z in de uitdrukking
voorkomt. We krijgen dan
4 × 15 + 12
De verdere vereenvoudiging verloopt volgens de gebruikelijke voorrangsregels (eerst
haakjesvormen, dan vermenigvuidging en deling, dan optelling en aftrekking). We schrijven
de vereenvoudiging telkens geheel op, gescheiden door het - teken:
4 × 15 + 12 =
60 + 12 =
72
Voorbeeld 5
Bereken (1 + z) × 2 + 12 : 3 - z
voor z = 4. We krijgen dan
(1 + z) × 2 + 12 : 3 - z
=
(1 + 4) × 2 + 12 : 3 - 4 =
5 × 2 + 12 : 3 - 4 =
10 + 4 - 4 =
10.
3. Vergelijkingen
Een vergelijking is een wiskundige vorm waarin twee uitdrukkingen
gescheiden zijn door het = teken
Vergelijkingen worden ook gebruikt om de relatie tussen variabelen en getallen aan te
geven (zoals hierboven bijvoorbeeld met z = 4).
Daarbij is het niet noodzakelijk, dat de vergelijking daadwerkelijk waar is.
Voorbeeld
Hieronder staat aan aantal vergelijkingen
2 = 2
2 = 17
17 = 2 + 15
x = 7
7 = x
t + 3 = 8
3 × n +12 = 100
w + 4 = 12 - w
y - 1 - 2 - 9.3 = 34
3 × (d + 4) - 11 = 321 - 23
[]
Vergelijkingen kunnen vaak worden afgeleid uit een stuk tekst. In dit geval spreken we
van ingeklede vergelijkingen (ook wel woordproblemen).
"Vertaling" van de tekst in een wiskundige vorm leidt dan tot de gewenste
vergelijking.
Voorbeeld
Als Anton's leefttijd in jaren, y, wordt vermeerderd met 20, dan krijg je vier
maal zijn leeftijd min 10.
Vertaling
leeftijd = y
leefttijd vermeerderd met 20: y + 20
vier maal zijn leeftijd min 10: 4 × y - 10
De beide gevonden uitdrukkingen zijn aan elkaar gelijk. Dit geeft de vergelijking
y + 20 = 4 × y - 10
4. Oplossen van een vergelijking
Als een vergelijking een variabele bevat, dan kunnen we trachten de waarde
(alle waarden) van de variabele te vinden waardoor er een ware bewering onstaat als we de
variabele vervangen door de gevonden waarde(n).
Dit wordt "oplossen van de vergelijking" genoemd.
De waarde van de variabele heet in dit geval de wortel of de oplossing
van de vergelijking.
Voorbeeld 1
We zeggen dat y = 3 een oplossing is van de vergelijking 4 × y + 7 = 19,
omdat substitutie van y = 3 leidt tot
4 × 3 + 7 = 19
12 + 7 = 19
19 = 19
Om samenhang tussen de opvolgende stappen te benadrukken schrijven we dit soms ook als
4 × 3 + 7 = 19 Þ
12 + 7 = 19 Þ
19 = 19 (en dit is een ware bewering)
We spreken Þ uit als "is gelijkwaardig met" of als
"heeft tot gevolg"
Voorbeeld 2
x = 100 is de oplossing van de vergelijking x : 2 - 40 = 10
z = 12 is de oplossing van de vergelijking 5 × (z - 6) = 30
We kunnen de eerste bewering als volgt bewijzen:
x=100 Ù x : 2 - 40 = 10 Þ
100 : 2 - 40 =10 Þ
50-40=10 (en dit is waar)
Tegenvoorbeeld
y = 10 is GEEN oplossing van de vergelijking 4 × y + 7 = 19.
We bewijzen ditop dezelfde manier als hierboven:
y = 10 Ù 4 × y + 7 = 19 Þ
4 × 10 + 7 = 19 Þ
47 = 19 (en dit is niet waar)
5. Vereenvoudigen van
vergelijkingen
Voor het vinden van een oplossing van een vergelijking kunnen (of zelfs
moeten) we gebruik maken van zogenoemde vereenvoudigingsregels. Deze regels hebben in het
algemeen te maken met de wijze waarop we met wiskundige uitdrukkingen omgaan. Enkele van
deze regels zijn:
- Uitwerken van haakjes, machtsverheffen, vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekking,
waarbij de gebruikelijke volgorde van bwerking in acht wordt genomen.
Hierbij kan tevens gebruik gemaakt worden van de commutatieve, associatieve en distributieve eigenschappen van die bewerkingen.
Een bewerking ¨ (dit teken staat bijvoorbeeld voor + en ×) heet commutatief als a ¨ b = b ¨a.
Een bewerking ¨ (ook hierbij voorbeeld + of ×) heet associatief als (a ¨ b) ¨ c = a ¨ (b ¨ c)
Vermenigvuldigen is distributief over de optelling. Dit betekent a × (b + c) = (b + c ) × a = ab + ac. - Samennemen (optellen) van termen van gelijke soort.
De uitdrukking 2x + 4x wordt 6x; hier gebruiken we dus eigenlijk: 2x + 4x = (2+4)× x = 6 × x.
De uitdrukking 13 - 5a + 5 - 7a + 2 + 4a wordt 20 - 8a. - Gelijkwaardigheid van vergelijkingen. Dit betekent
a = b Þ a + p = b + p
en
a + p = b + p Þ a = b
Met andere woorden: bij een vergelijking mag bij het rechter en linker lid kan eenzelfde getal worden opgeteld of afgetrokken.
Of ook
a = b Þ pa = pb
en
pa = bp Þ a = b
Met andere woorden: bij een vergelijking mag het rechter en linker lid met eenzelfde getal (ongelijk aan 0) worden vermenigvuldigd of gedeeld.
Voorbeeld
Het volgende probleem illustreert het samennemen van termen en het aftrekken van een getal
van beide kanten van de vergelijking.
Los op: x - 12 + 20 = 37
We kunnen -12 vervangen door +(-12). Dus krijgen we
x + (-12) + 20 = 37
Omdat de optelling associatief is, kunnen we twee van de drie termen in het linkerlid
samennemen. We moeten hier -12 en 20 kiezen Dit geeft dan
x + 8 = 37
We tellen nu -8 op bij beide kanten van de vergelijking:
x + 8 + (-8) = 37 + (-8)
x + 0 = 29
x = 29
Voorbeeld
Dit voorbeeld illustreert het gebruik van de distributieve eigenschap van de
vermenigvuldiging over de optelling.
Los op: 2 × (x + 1 + 4) = 20
Allereerst kijken we binnen de haakjes. Dit geeft voor de linker kant van de
vergelijking
2 × (x + 1 + 4) = 2 × (x + 5)
Nu gebruiken we de distributieve eigenschap
2 × (x + 5) = 2 × x + 2 × 5
en voeren de vermenigvuldigingen uit:
2 × x + 2 × 5 = 2x + 10
De vergelijking wordt nu:
2x + 10 = 20
We trekken nu 10 (optellen van -10) af van beide kanten van de vergelijking
2x + 10 + (-10) = 20 + (-10) Þ
2x + (10 + (-10)) = 20 - 10 Þ
2x + 0 = 10 Þ
2x = 10
Omdat x vermenigvuldigd is met 2, delen we beide kanten door 2 om x te
vinden:
2x = 10 Þ
2x ÷ 2 = 10 ÷ 2 Þ
(2x)/2 = 5 Þ
x = 5
6. Samennemen van overeenkomstige
termen
De meest gebruikte methode om vergelijkingen te vereenvoudigen is het samennemen van
termen van gelijke soort (overeenkomstige termen): numerieke termen en termen met dezelfde
variabele.
Voorbeeld
Bekijk de uitdrukking 2 + 7x + 12 - 3x - 5.
De numerieke termen zijn de getallen 2, 12 en 5. Termen die overeenkomen in
variabele, zijn 7x and 3x.
Elk type kan nu worden samengenomen (opgeteld).
2 + 12 - 5 = 14 - 5 = 9
7x - 3x = 4x
Dus 2 + 7x + 12 - 3x - 5 =
9 + 4x
7. Vereenvoudigen door optelling en
aftrekking
We gebruiken optelling en aftrekking om alle termen met variabelen aan de
ene kant van de vergelijking te plaatsen en de numerieke termen aan de andere kant.
Bij de vergelijkingen
3x = 17
21 = y
z/12 = 24
is dat reeds het geval.
Echter niet bij
3x + 4 = 12
21 = 30 - y
(z + 2) × 4 = 10
Voorbeelden
Bij 3x + 4 = 12 kunnen we de term met x
isoleren door 4 af te trekken
3x + 4 - 4 = 12 - 4 Þ
3x = 8
Bij 7y - 200 = 10 kunnen we de term met y isoleren
door 200 op te tellen
7y + (-200) = 10 Þ
7y + (-200) + 200 = 10 + 200 Þ
7y = 210
Bij 8 = 20 - z kunnen we eerst z optellen. Dit
geeft
8 + z = 20 - z + z Þ
8 + z = 20; we trekken nu 8 af
8 + z - 8 = 20 - 8 Þ
z = 12
8. Vereenvoudigen door
vermenigvuldiging
De oplossing van een vergelijking willen we schrijven in een vorm als
x = 3 of
z = 2001.
Wordt een variabele gedeeld door een getal, dan kunnen we via vermenigvuldiging de waarde van de variabele vinden.
Voorbeeld
Los op: x / 12 = 5
Omdat links de x gedeeld is door 12, is de vergelijking gelijkwaardig met
x × 1/12 = 5
We vermenigvuldigen beide kanten van de vergelijking met 12
x × 1/12 × 12 = 5 × 12 Þ
x × 1 = 60 Þ
x = 60
9. Vereenvoudigen door deling
De oplossing van een vergelijking willen we schrijven in een vorm als
x = 3 of
z = 2001.
Wordt een variabele vermenigvuldigd met een getal, dan kunnen we via deling de waarde van de variabele vinden.
Voorbeeld
Los op: 7x = 133.
Omdat de variabele x links vermenigvuldigd is met 7, kunnen we beide kanten van de vergelijking door 7 delen om x te vinden
7x / 7 = 133 / 7 Þ
(7x)/7 = 133 / 7 Þ
x = 19.
Merk op dat delen door 7 hetzelfde is als vermenigvuldigen met 1/7.
10. Ingeklede vergelijkingen
(woordproblemen)
Bij het omzetten (vertalen) van ingeklede vergelijkingen (dat zijn
vergelijkingen waarvan de opbouw is "verborgen" is in een tekst; vandaar ook de
naam woordproblemen) kunnen we via de tekst met behulp van onderstaande tabel de
vergelijking opbouwen.
| Woord | Operatie | Voorbeeld | Vergelijking |
| som | optelling | De som van mijn leeftijd en 10 is 27. | y + 10 = 27 |
| verschil | aftrekking | Het verschil tussen mijn leeftijd en die van mijn jongeren zus, die 11 jaar is, is gelijk aan 5. | y - 11 = 5 |
| product | vermenigvuldiging | Het product van mijn leeftijd en 14 is 168.. | y × 14 = 168 |
| maal, keer | vermenigvuldiging | Drie keer mijn leeftijd geeft 60.. | 3 × y = 60 |
| verminderd met | aftrekking | Mijn leeftijd verminderd met 7 is 32. | y - 7 = 32 |
| totaal | optelling | Het totaal van mijn spaarpot en 20 gulden is fl. 22,43.. | y + 20 = 22,43 |
| meer dan | optelling | Elf meer dan mijn leeftijd is 43. | 11 + y = 43 |
11. Rijen
Een rij is een lijst met termen (of
uitdrukkingen), gescheiden door komma's. De termen van een rij worden ook wel elementen
genoemd.
De plaats van een term in een rij geven we vaak aan door het nummer van de plaats in de
rij: eerste, tweede, derde, enz.
Bij veel rijen worden de termen opgebouwd via een kenmerkende eigenschap van alle
termen
Er zijn twee soorten rijen: eindige rijen en oneindige rijen.
Bij een eindige rij kunnen we het aantal termen tellen; bij een oneindige rij is het
aantal termen onbepaald. Aan het eind van een oneidige rij schrijven we ... om aan te
geven dat de rij oneiding is.
Voorbeelden van eindige rijen
De rij 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 is zijn de eerste term van de telrij
(tafel) van 2
De rij 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 is is de rij van de eerste 10 oneven getallen.
De rij a, e, i, o, u is de rij van klinkers in het alfabet.
De rij m, m, m, m, m, m is een rij bestaande uit 5 letters m
De rij 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0 is een rij bestaande uit 12 afisselen
geschreven enen en nullen.
De rij 1, 2, 3, 4, ..., 9998, 9999, 10000 is van de eerste tienduizend positieve gehele
getallen.
De rij 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 is de rij van de kwadraten van de eerste 8 natuurlijke
getallen.
De rij a, 2a, 3a, 4a, 5a, ..., 10a is de telrij (tafel) van a.
Voorbeelden van oneidige rijen
De rij 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... de rij van de even positieve getallen. Het
100ste element in de rij is 200.
De rij a, b, c, a, b, c, a, b, c, a, b, ... is is een rij met de letters a,
b, c, waarbij dit patroon steeds herhaald wordt. De 100ste term in is de
letter a. Op de 300ste plaats staat de letter c.
De rij 0, -1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8, -9, … bestaat uit de natuurlijke getallen,
afwisselend voorzien van een minteken. De 10de term in de rij is -9. De 100ste de rij is
-99. De 101ste term is 100.
De rij 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, ... is a sequence bestaande uit enen,
gescheiden door 1 nul, dan 2 nullen, dan 3 nullen, enz.. De 100ste term in deze rij is 0.
De 105de term is 1.
De rij 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... rij bestaande uit de plaatsen waarop het
cijfer 1 voorkomt in de rij bestaande uit enen en nullen hiervoor. Om deze rij te
onderzoeken kunnen we de verschillen van naast elkaar staande termen bekijken
3 - 1 = 2
6 - 3 = 3
10 - 6 = 4
15 - 10 = 5
21 - 15 = 6
28 - 21 = 7
Deze verschillen geven vaak inzicht in de opbouw van de rij.
1, 1, 1, 1, 1, 1, ... is een oneidinge rij bestaande uit louter enen.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... is de rij van "telgetallen". Elke term in de rij geeft
eveneens zijn plaats aan in de rij.
a, b, a, b, a, b, a, b, ... een rij bestaande uit afwisselen de letter a en de letter b.
De a's staan op de oneven plaatsen; de b's staan op de even plaatsen
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, … is de rij bestaande uit de omgekeerden van de
positieve gehele getallen.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ... is rij van de kwadraten van de positieve gehele
getallen.
a, e, i, o, u, a, e, i, o, u, a, e, ... is een rij bestaande uit een herhaald patroon van
de klinkers in het alfabet.
4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... is de rij van de getallen beginnend met 4 en telkens
vermeerderd met 3.
[algebra-1.htm] laatste wijziging op: 31-03-2003